Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38850 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38850 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους |
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Μια μικρή βιοτεχνία φτιάχνει κρίκους για πετσέτες, ανοίγοντας σε ξύλινες σφαίρες κυλινδρικές τρύπες με διάφορες διαμέτρους \(δ\) και ύψος \(h=4 cm\) (με \(δ>h\)). Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε δυο τέτοιους κρίκους. Αποτελείται κάποιος από τους παρακάτω κρίκους από περισσότερο ξύλο;
Μπορείτε να ελέγξτε την απάντησή σας στην παραπάνω ερώτηση ως εξής:
Παρακάτω βλέπετε τους κρίκους που έχουν προκύψει από τις ξύλινες σφαίρες, από τις οποίες έχουν αφαιρεθεί δυο σφαιρικά τμήματα πάνω και κάτω (δυο καπέλα) και έχει ανοιχτεί μια κυλινδρική τρύπα. Πιο συγκεκριμένα, ο μικρός κρίκος (αριστερά) έχει προκύψει από ξύλινη σφαίρα ακτίνας \(R=2,5 cm\) και ο μεγάλος δεξιά από ξύλινη σφαίρα ακτίνας \(R'=4 cm\).
α)
i. Να υπολογίσετε την ακτίνα της κυλινδρικής τρύπας σε κάθε ένα από τα παραπάνω σχήματα.
(Μονάδες 6)
ii. Να υπoλογίσετε τον όγκο της κυλινδρικής τρύπας σε κάθε περίπτωση και να τον γράψετε
στη μορφή \(V=a\cdot π\), με \(α\) φυσικό αριθμό.
(Μονάδες 6)
β)
i. Αν ο όγκος της κυλινδρικής τρύπας στον μικρό κρίκο είναι \(V_{Α}=9π\ cm^{3}\) και στον μεγάλο κρίκο είναι \(V_{B}=48π\ cm^{3}\) και αν είναι γνωστό ότι ο όγκος των δύο σφαιρικών τμημάτων (τα δύο καπέλα πάνω και κάτω σε κάθε σχήμα) είναι για την μικρή σφαίρα \(\dfrac{7}{6}π\) και για τη μεγάλη \(\dfrac{80}{3}π\), να βρείτε τον όγκο του ξύλου που έμεινε (μετά τη δημιουργία της κυλινδρικής τρύπας) σε καθέναν από τους παραπάνω κρίκους.
(Μονάδες 8)
ii. Στη βιοτεχνία οι τεχνίτες προβληματίστηκαν με το εξής: μήπως αν επιλέξουν μια οποιαδήποτε σφαίρα ακτίνας \(R_{1}>2\), για να φτιάξουν τον κρίκο με τον ίδιο τρόπο που περιγράφεται παραπάνω, θα μείνει ο ίδιος όγκος ξύλου που έμεινε και στους δυο προηγούμενους; Ρώτησαν έναν φίλο τους που μπορούσε να τους βοηθήσει και τους είπε: «Ο όγκος του ξύλου που θα μείνει θα είναι:
$$V=\dfrac{4}{3}πR_{1}^{3}-4π(R_{1}^{2}-4)-\dfrac{4}{3}π(R_{1}-2)^{2}(R_{1}+1)$$
και είναι ίσος με τον όγκο του ξύλου που έμεινε και στους δυο προηγούμενους (που βρήκατε στο βi) ερώτημα)».
Με δεδομένο τον παραπάνω τύπο, να ελέγξετε αν ο ισχυρισμός είναι σωστός. Μπορούμε να βγάλουμε ένα συμπέρασμα για τον όγκο του ξύλου που μένει σε κάθε περίπτωση στους κρίκους και τελικά να απαντήσουμε στην ερώτηση που τέθηκε στην αρχή;
(Μονάδες 5)
Δίνεται ο όγκος του κυλίνδρου: \(V=πρ^{2}\cdot h\), όπου \(ρ\) η ακτίνα και \(h\) το ύψος του κυλίνδρου και ο όγκος της σφαίρας \(V=\dfrac{4}{3}πR^{3}\), όπου \(R\) η ακτίνα της σφαίρας.
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i. Η ακτίνα της κυλινδρικής τρύπας στον μικρό κρίκο είναι \(ρ=\sqrt{2,5^{2}-2^{2}}=\sqrt{2,25}=1,5 cm\), όπως προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΚ\).
Η ακτίνα της κυλινδρικής τρύπας στον μεγάλο κρίκο είναι \(ρ'=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} cm\), όπως προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \(Α'Β'Ν\).
ii. Για την κυλινδρική τρύπα στον μικρό κρίκο έχουμε \(V_{Α}=πρ^{2}\cdot h=π\cdot 2,25\cdot 4=9π cm^{3}\).
Για την κυλινδρική τρύπα στον μεγάλο κρίκο έχουμε \(V_{B}=π'^{2}\cdot h=π\cdot 12\cdot 4=48π cm^{3}\).
β)
i. Για τον μικρό κρίκο θα έχει μείνει:
$$V_{\text{σφαίρας}}-9π-\dfrac{7}{6}π=\dfrac{4}{3}π2,5^{3}-\dfrac{61}{6}π=\dfrac{62,5π}{3}-\dfrac{61}{6}π=\dfrac{125π-61π}{6}=\dfrac{64π}{6}=\dfrac{32π}{3}\ cm^{3}$$
Για τον μεγάλο κρίκο θα έχει μείνει:
$$V_{\text{σφαίρας}}-48π-\dfrac{80}{3}π=\dfrac{4}{3}π4^{3}-\dfrac{224}{3}π=\dfrac{256π}{3}-\dfrac{224}{3}π=\dfrac{32π}{3}\ cm^{3}$$
ii. Από το β) ερώτημα προκύπτει ότι ο όγκος του ξύλου που μένει σε κάθε κρίκο είναι \(\dfrac{32π}{3}\ cm^{3}\), οπότε θα ελέγξουμε αν
$$V=\dfrac{4}{3}πR_{1}^{3}-4π(R_{1}^{2}-4)-\dfrac{4}{3}π(R_{1}-2)^{2}(R_{1}+1)=\dfrac{32π}{3}$$. Έχουμε:
$$V=\dfrac{4}{3}πR_{1}^{3}-4π(R_{1}^{2}-4)-\dfrac{4}{3}π(R_{1}-2)^{2}(R_{1}+1)$$ $$=\dfrac{4}{3}πR_{1}^{3}-4πR_{1}^{2}+16π-\dfrac{4}{3}π(R_{1}^{2}-4R_{1}+4)(R_{1}+1)$$ $$=\dfrac{4}{3}πR_{1}^{3}-4πR_{1}^{2}+16π-\dfrac{4}{3}π(R_{1}^{3}-4R_{1}^{2}+4R_{1}+R_{1}^{2}-4R_{1}+4)$$ $$=\dfrac{32π}{3}$$
Άρα ο ισχυρισμός είναι σωστός, δηλαδή ανεξάρτητα από την ακτίνα της σφαίρας, ο όγκος του ξύλου που μένει είναι ίδιος. Οπότε απαντήσαμε και στην αρχική ερώτηση!
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).