Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38860	Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38860
Ύλη:	2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 4
Ένας μαθητής χρησιμοποίησε ένα γκρι και ένα άσπρο χαρτόνι, για να φτιάξει ένα διακοσμητικό αποτελούμενο από γκρι και άσπρα ισοσκελή ορθογώνια τρίγωνα. Ξεκινώντας από ένα γκρι τρίγωνο με υποτείνουσα $16 cm$, τα τοποθέτησε εναλλάξ έτσι, ώστε η κάθετη πλευρά του ενός να είναι η υποτείνουσα του επόμενου. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται τα πέντε πρώτα από αυτά.

α) Να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, για να υπολογίσετε το μήκος των κάθετων πλευρών του αρχικού γκρι ορθογωνίου τριγώνου.
(Μονάδες 4)

β)
i. Αν $x$, $y$ και $z$ τα μήκη των κάθετων πλευρών τριών διαδοχικών τριγώνων, όπως φαίνεται στο σχήμα, να αποδείξετε ότι $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x$ και $z=\dfrac{1}{2}x$.
(Μονάδες 7)
ii. Να αποδείξετε ότι τα μήκη των κάθετων πλευρών των άσπρων τριγώνων είναι όροι γεωμετρικής προόδου $(β_{ν})$ με πρώτο όρο $β_{1}=8$ και γενικό όρο $β_{ν}=8(\dfrac{1}{2})^{ν-1}$.

(Μονάδες 7)
γ) Να δείξετε ότι, όσα άσπρα τρίγωνα και να προστεθούν, το μήκος $β$ του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται από τις κάθετες πλευρές τους θα είναι πάντα μικρότερο από την υποτείνουσα του αρχικού γκρι τριγώνου, δηλαδή από $16$.
(Μονάδες 7)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ
α) Αν $x$ το μήκος των κάθετων πλευρών του αρχικού γκρι τριγώνου, από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι:

$$x^{2}+x^{2}=16^{2}$$ $$\text{ή }x^{2}=\dfrac{16^{2}}{2}$$

και επειδή $x>0$, $x=\sqrt{\dfrac{16^{2}}{2}}=\dfrac{16}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}\ cm$.
β)
i. Έχουμε ότι $y^{2}+y^{2}=x^{2}$ δηλαδή $y^{2}=\dfrac{x^{2}}{2}$ άρα $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x$.
Όμοια, έχουμε ότι $z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}y$ και επειδή $y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x$, βρίσκουμε $z\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}x=\dfrac{1}{2}x$.
ii. Από το ερώτημα α) γνωρίζουμε ότι οι κάθετες πλευρές του αρχικού γκρι, οπότε και η υποτείνουσα του αρχικού άσπρου τριγώνου, έχουν μήκος $8\sqrt{2}\ cm$. Άρα, εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο πρώτο άσπρο τρίγωνο, έχουμε:

$$2β_{1}^{2}=(8\sqrt{2})^{2}$$

δηλαδή

$$2β_{1}^{2}=8^{2}\cdot 2$$

οπότε

$$β_{1}^{2}=8^{2}$$

και τελικά $β_{1}=8$.
Επίσης, από το ερώτημα β)i. γνωρίζουμε ότι $z=\dfrac{1}{2}x$ άρα $\dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{2}$, δηλαδή ο λόγος των κάθετων πλευρών δύο διαδοχικών άσπρων τριγώνων είναι σταθερός και ίσος με $\dfrac{1}{2}$. Άρα, τα μήκη των κάθετων πλευρών των άσπρων τριγώνων είναι όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο $β_{1}=8$ και λόγο $λ=\dfrac{1}{2}$. Ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τη σχέση $β_{ν}=8(\dfrac{1}{2})^{ν-1}$.
Άλλος τρόπος
Με βάση τον τρόπο κατασκευής μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η υποτείνουσα του αρχικού γκρι τριγώνου είναι η κάθετη πλευρά ενός προηγούμενου άσπρου τριγώνου, που δεν φαίνεται. Οπότε από το ερώτημα β)i. έχουμε ότι $\dfrac{β_{1}}{16}=\dfrac{1}{2}$, άρα $β_{1}=\dfrac{16}{2}=8$.
γ) Αν κατασκευαστούν $ν$ άσπρα τρίγωνα, το συνολικό μήκος $β$ των κάθετων πλευρών τους δίνεται από τη σχέση

$$β=S_{ν}=8\dfrac{(\dfrac{1}{2})^{ν}-1}{\dfrac{1}{2}-1}$$ $$=16(1-(\dfrac{1}{2})^{ν})$$

Πρέπει

$$S_{ν}<16\text{ ή }16(1-(\dfrac{1}{2})^{ν})<16$$ $$\text{ ή }1-(\dfrac{1}{2})^{ν}<1$$ $$\text{ ή }(\dfrac{1}{2})^{ν}>0$$

που ισχύει.
Αλλιώς, επειδή είναι $1-(\dfrac{1}{2})^{ν}<1$, θα ισχύει $16(1-(\dfrac{1}{2})^{ν})<16$, άρα $β<16$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).