Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38927	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38927
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 4
Το ενεχυροδανειστήριο είναι γραφείο, το οποίο, κυρίως, είτε χορηγεί έντοκα δάνεια που εξασφαλίζονται με ενέχυρο πολύτιμα αντικείμενα (δηλαδή κατακρατά πολύτιμα αντικείμενα μέχρι την αποπληρωμή του δανείου, οπότε τα επιστρέφει) είτε αγοράζει τέτοια αντικείμενα. Τα κοσμήματα είναι ανάμεσα στα αντικείμενα που ενδιαφέρουν ένα ενεχυροδανειστήριο. Τα κύρια κριτήρια για την εκτίμηση της αξίας ενός χρυσού κοσμήματος είναι η καθαρότητα του χρυσού και το βάρος του κοσμήματος.
α) Η καθαρότητα του χρυσού μετριέται σε καράτια, που δείχνουν τι μέρος σε εικοστά τέταρτα είναι ο καθαρός χρυσός σε ένα μείγμα μετάλλων από το οποίο φτιάχνουμε ένα χρυσό κόσμημα. Για παράδειγμα, σε ένα χρυσό κόσμημα $24$ καρατίων, τα $\dfrac{24}{24}$ ή αλλιώς το $100\%$ είναι καθαρός χρυσός. Να βρείτε το ποσοστό του καθαρού χρυσού σε ένα χρυσό κόσμημα $18$ καρατίων, σε ένα $14$ καρατίων και σε ένα $9$ καρατίων.
(Μονάδες 6)
β) Το ενεχυροδανειστήριο «Golden Market» προσφέρει δάνειο, με ενέχυρο χρυσά κοσμήματα. Το δάνειο είναι ίσο με το μισό της αξίας των κοσμημάτων με ετήσιο επιτόκιο $6\%$, ενώ τα έξοδα φύλαξης είναι $100$ ευρώ και τα έξοδα φακέλου $80$ ευρώ. Η Ρέα έχει χρυσά κοσμήματα αξίας $5.000$ ευρώ και τα αφήνει ως ενέχυρο για δάνειο ενός μήνα. Τι ποσό θα πρέπει να επιστρέψει η Ρέα στο «Golden Market» στο τέλος του μήνα;
(Μονάδες 9)
γ) Το «Golden Market» αγοράζει κοσμήματα με την τρέχουσα τιμή χρυσού, αφαιρώντας (για τόκους και προμήθειες) $24\%$ από την τιμή αγοράς. Η τρέχουσα τιμή χρυσού ανά γραμμάριο ενός κοσμήματος καθορίζεται με βάση το ποσοστό του χρυσού στο κόσμημα: για ένα κόσμημα $9$ καρατίων είναι $35$ ευρώ/γραμμάριο και για ένα κόσμημα $14$ καρατίων είναι $55$ ευρώ/γραμμάριο. Η Αθηνά μπορεί να διαθέσει στο ενεχυροδανειστήριο ένα κόσμημα $9$ καρατίων ή ένα κόσμημα $14$ καρατίων, προκειμένου να πάρει από την πώληση τουλάχιστον $2.660$ ευρώ. Πόσο πρέπει να ζυγίζει το κάθε κόσμημα, για να πάρει η Αθηνά το ποσό που χρειάζεται διαθέτοντας μόνο ένα από αυτά;
(Μονάδες 10)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ
α) Στο κόσμημα $18$ καρατίων τα $\dfrac{18}{24}$ είναι χρυσός, ή αλλιώς τα $\dfrac{3}{4}\cdot 100\%$, δηλαδή το $75\%$. Στο κόσμημα $14$ καρατίων τα $\dfrac{14}{24}$ είναι χρυσός, ή αλλιώς το $\dfrac{7}{12}\cdot 100\%$, δηλαδή περίπου το $58,33\%$. Στο κόσμημα $9$ καρατίων τα $\dfrac{9}{24}$ είναι χρυσός, ή αλλιώς τα $\dfrac{3}{8}\cdot 100\%$, δηλαδή το $37,5\%$.
β) Για τα κοσμήματα αξίας $5.000$ ευρώ η Ρέα μπορεί να λάβει δάνειο $2.500$ ευρώ. Ο τόκος για αυτό το ποσό θα είναι $6\%\cdot 2.500=\dfrac{15.000}{100}=150$ ευρώ ετησίως. Άρα ο τόκος για έναν μήνα θα είναι $\dfrac{150}{12}=12,5$ ευρώ (εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε το μηνιαίο επιτόκιο $\dfrac{6\%}{12}=0,5\%$ και τον τόκο για τον ένα μήνα $0,5\%\cdot 2.500$ $=12,5$ ευρώ). Επομένως η Ρέα, για να πάρει πίσω τα κοσμήματά της στο τέλος του μήνα, θα πρέπει να επιστρέψει στο «Golden Market» $2.500+12,5+100+80=2.692,5$ ευρώ.
γ) Αν το κόσμημα των $9$ καρατίων ζυγίζει $ω$ γραμμάρια, τότε το ποσό που θα πάρει η Αθηνά από την πώλησή του είναι $35ω –\dfrac{24}{100}\cdot 35ω$. Το ποσό αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο των $2.660$ ευρώ, αν ισχύει:

$$35ω –\dfrac{24}{100}\cdot 35ω \ge 2660$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{76}{100}\cdot 35ω \ge 2.660$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{2.660}{100}\cdot ω \ge 2660 \Leftrightarrow ω\ge 100$$

Ανάλογα, αν το κόσμημα των $14$ καρατίων ζυγίζει $z$ γραμμάρια, τότε το ποσό που θα πάρει η Αθηνά από την πώλησή του είναι $55z–\dfrac{24}{100}\cdot 55z$. Το ποσό αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο των $2.660$ ευρώ, αν ισχύει:

$$55z –\dfrac{24}{100}\cdot 55z \ge 2.660$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{76}{100}\cdot 55z \ge 2.660$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{4.180}{100}\cdot z\ge 2.660 \Leftrightarrow z\ge 3,63\text{ περίπου}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).