Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38930 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38930 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Οι «κάψουλες με απορρυπαντικό» μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε όλους τους τύπους πλυντηρίων ρούχων. Βοηθούν ώστε η πλύση να έχει καλύτερα αποτελέσματα (χωρίς χρήση μαλακτικού και πρόπλυσης).
α) Μια εταιρεία παράγει σφαιρικές κάψουλες ακτίνας \(r=2\ cm\) με το εξής χαρακτηριστικό: ο όγκος του σφαιρικού τμήματος ύψους \(h\), που περιέχει το απορρυπαντικό, είναι ίσος με το 1/3 του
όγκου της κάψουλας.
- Να δείξετε ότι το ύψος \(h\) είναι λύση της εξίσωσης \(h^{3}-18h^{2}+32=0\).
(Μονάδες 8) - Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
\(f(x)=x^{3}-6x^{2}+\dfrac{32}{3}\), για \(-1,5 < x< 6\)
Να αξιοποιήσετε την παραπάνω γραφική παράσταση, για να εκτιμήσετε το ύψος \(h\) του σφαιρικού τμήματος που περιέχει το απορρυπαντικό, εξηγώντας τη σκέψη σας.
(Μονάδες 8)
β) Μια άλλη εταιρεία ισχυρίζεται ότι μπορεί να εξασφαλίσει τον ίδιο όγκο απορρυπαντικού γεμίζοντας τα 2/9 μιας κυλινδρικής κάψουλας ίδιας ακτίνας και ύψους ίσου με τη διάμετρο της σφαιρικής. Να εξηγήσετε γιατί ισχύει ο ισχυρισμός αυτός.
(Μονάδες 9)
Δίνεται ο όγκος του κυλίνδρου \(V=πρ^{2}\cdot h\), όπου \(ρ\) η ακτίνα και \(h\) το ύψος του κυλίνδρου, ο όγκος της σφαίρας \(V=\dfrac{4}{3}πr^{3}\), όπου \(r\) η ακτίνα της σφαίρας, και ο όγκος ενός σφαιρικού τμήματος \(V=\dfrac{1}{3}πh^{2}(3r-h)\), όπου \(h\) το ύψος του τμήματος και \(r\) η ακτίνα της σφαίρας.
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
- O όγκος του σφαιρικού τμήματος ύψους \(h\), που περιέχει το απορρυπαντικό, είναι ίσος με το 1/3 του όγκου της κάψουλας, οπότε:
$$\dfrac{1}{3}πh^{2}(3r-h)=\dfrac{1}{3}\cdot (\dfrac{4}{3}πr^{3})$$
οπότε για \(r=2cm\) έχουμε
$$h^{2}(6-h)=\dfrac{4}{3}\cdot 8$$
δηλαδή
$$6h^{2}-h^{3}=\dfrac{32}{3}$$
και τελικά
$$h^{3}-18h^{2}+32=0.\ \ \ \ (1)$$
- Η εξίσωση που βρήκαμε στο α)i. ερώτημα είναι ισοδύναμη με την \(h^{3}-6h^{2}+\dfrac{32}{3}=0\).
Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+\dfrac{32}{3}\) με τον άξονα \(x'x\). Από το σχήμα βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει τρία κοινά σημεία με τον άξονα \(x'x\), όμως η τετμημένη μόνο του ενός θα μπορούσε να είναι λύση της εξίσωσης (1) (το \(h\), ως ύψος σφαιρικού τμήματος δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός και δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα \(r=2cm\) της σφαίρας). Άρα το ύψος \(h\) του σφαιρικού τμήματος που περιέχει το απορρυπαντικό είναι περίπου \(h=1,5 cm\).
β) Τα 2/9 ενός κυλίνδρου ίδιας ακτίνας (\(ρ=2 cm)\) και ύψους \(h=4 cm\) (όσο η διάμετρος της σφαιρικής κάψουλας) έχουν όγκο:
$$V=\dfrac{2}{9}\cdot (π\cdot 2^{2}\cdot 4)=\dfrac{32π}{9}\ cm^{3}$$
Ο όγκος του απορρυπαντικού είναι το 1/3 του όγκου της σφαίρας ακτίνας \(r=2cm\) , άρα
$$V_{ύ}=\dfrac{1}{3}\cdot (\dfrac{4}{3}\cdot π\cdot 2^{3})=\dfrac{32π}{9}\ cm^{3}$$
Άρα ο ισχυρισμός είναι σωστός.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).