Θέμα: 34163

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 952 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Άλγεβρα	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	34163	Θέμα:	2
Τελευταία Ενημέρωση:	18-Μαΐ-2023	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού

Δίνεται η εξίσωση $λx=x+λ^{2}-1$, με παράμετρο $λ\in \mathbb{R}$.

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)\ \ \text{,}\ \ λ\in \mathbb{R}$$

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιμές του $λ$ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε.
(Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιμή του $λ$ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)

α) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$$λx=x+λ^{2}-1 $$ $$\Leftrightarrow λx-x=λ^{2}-1 $$ $$\Leftrightarrow (λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$

β) Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:

$$λ-1\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow λ\ne 1$$

Η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η:

$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$ $$\overset{λ\ne 1}{\Leftrightarrow} \dfrac{(λ-1)x}{λ-1}=\dfrac{(λ-1)(λ+1)}{λ-1} $$ $$\Leftrightarrow x=λ+1$$

γ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα αν και μόνο αν:

$$λ-1=0\ \ \text{και}\ \ (λ-1)(λ+1)=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=1\ \ \text{και}\ \ (1-1)(1+1)=0 $$ $$\Leftrightarrow λ=1$$