Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 11475 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 13171 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Μαΐ-2023 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 13171
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Το άθροισμα των \(ν\) πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας \((α_ν)\) είναι

$$α_1+α_2+\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$

με \(ν\in\mathbb{N}\) και \(ν\geq 1\).

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο \(α_1\).
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι

$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\ ν\geq2.$$

(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι

$$α_ν=4ν+1,\ ν\geq1$$

(Μονάδες 7)

δ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τη διαφορά \(ω\).
(Μονάδες 7)

α) Προφανώς

$$α_1=S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5.$$

β) Θέτοντας όπου \(ν\) το \(ν-1\), παίρνουμε:

\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\ &= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\ &=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\ &=2ν^2-ν-1\end{align}

για κάθε \(ν\geq 2\).

γ) Για κάθε \(ν\geq 2\), έχουμε

\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\ &\phantom{=}-(α_1+α_2+\dots+α_ν)\\ &= S_ν-𝑆_{ν-1}\\ &= 2ν^2 + 3ν - (2ν^2-ν-1)\\ &= 2ν^2 + 3ν - 2ν^2+ν+1\\ &= 4ν+1.\end{align}

Αλλά \(α_1=5=4\cdot 1+1\). Ώστε \(α_ν=4ν+1\), για κάθε \(ν\geq 1\).

δ) Για να είναι η ακολουθία \((α_ν)\) αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:

\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[4(ν+1)+1]-[4ν+1]\\ &=4ν+4+1-4ν-1\\ &=4.\end{align}

Άρα η διαφορά \(ω\) είναι ίση με \(4\).