ΘΕΜΑ 4

4.1) Στο σχήμα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο τόσο στο τμήμα της διαδρομής \((ΟΑ)\) όπου ασκείται η \(\vec{F}\) όσο και στη διαδρομή \((ΑΓ)\) όπου η \(\vec{F}\) έχει καταργηθεί.

Διαδρομή \((ΟΑ)\):
Η \(\vec{F}\) έχει αναλυθεί σε συνιστώσες σε οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα και τα μέτρα τους υπολογίζονται ως εξής:

$$F_{y}=F\cdot ημφ$$ $$=10\cdot 0,6\ N=6\ N$$

$$F_{x}=F\cdot συνφ$$ $$=10\cdot 0,8\ N=8\ Ν$$

Στον κατακόρυφο άξονα ισχύει ο 1ος νόμος του Newton, οπότε:

$$\sum \vec{F}_{y}=0 $$ $$\Rightarrow \vec{Ν}_{1}+\vec{w}+\vec{F}_{y}=0$$ $$\Rightarrow Ν_{1}+F_{y}=w$$ $$\Rightarrow Ν_{1}=m\cdot g-F_{y}$$ $$\Rightarrow Ν_{1}=(10-6)\ N=4\ N$$

Και από το νόμο της τριβής, υπολογίζουμε το μέτρο της σε αυτήν τη διαδρομή:

$$Τ_{1}=μ\cdot Ν_{1}$$ $$\Rightarrow Τ_{1}=0,5\cdot 4\ Ν=2\ Ν$$

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Newton στον οριζόντιο άξονα:

$$\sum \vec{F}_{x} = m \cdot \vec{a_1}$$

ή, λαμβάνοντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας:

$$F_{x}-Τ_{1}=m\cdot α_{1}$$ $$\Rightarrow α_{1}=\dfrac{F_{x}-Τ_{1}}{m}$$ $$\Rightarrow α_{1}=\dfrac{8\ Ν-2\ Ν}{1\ kg}$$ $$\Rightarrow α_{1}=6\ \dfrac{m}{s^2}$$

Άρα ο κύβος στη διαδρομή \((ΟΑ)\) εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση που έχει μέτρο \(6\ \dfrac{m}{s^2}\) και κατεύθυνση ομόρροπη της ταχύτητας.

4.2) Αρχικά εφαρμόζοντας την εξίσωση της ταχύτητας στην διαδρομή \((ΟΑ)\) υπολογίζουμετην τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή \(t_{1}\), όπου η \(\vec{F}\) καταργείται:

$$υ_{1}=υ_{o}+α_{1}\cdot Δt_{1}$$ $$\Rightarrow υ_{1}=υ_{o}+α_{1}\cdot (t_{1}-t_{0})$$ $$\Rightarrow υ_{1}=((1+6\cdot (2-0))\ \dfrac{m}{s}$$ $$\Rightarrow υ_{1}=13\ \dfrac{m}{s}$$

Διαδρομή \((ΑΓ)\):
Η \(\vec{F}\) έχει καταργηθεί και στον οριζόντιο άξονα ασκείται μόνο η τριβή η οποία όμως έχει αλλάξει μέτρο, καθώς έχει αλλάξει το μέτρο της κάθετης δύναμης επαφής. Συγκεκριμένα στον κατακόρυφο άξονα ισχύει ο 1ος νόμος του Newton, οπότε:

$$\sum \vec{F_y} = 0$$ $$\Rightarrow \vec{N_2}+\vec{w}=0$$ $$\Rightarrow Ν_{2}=w$$ $$\Rightarrow Ν_{2}=m\cdot g$$ $$\Rightarrow Ν_{2}=10\ N$$

Από το νόμο της τριβής, υπολογίζουμε το μέτρο της σε αυτήν τη διαδρομή:

$$Τ_{2}=μ\cdot Ν_{2}$$ $$\Rightarrow Τ_{2}=0,5\cdot 10\ Ν=5\ Ν$$

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον 2ο νόμο του Newton στον οριζόντιο άξονα:

$$\sum \vec{F_x} = m \cdot \vec{α_1}$$

ή λαμβάνοντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας:

$$-Τ_{2}=m\cdot a_{2}$$ $$\Rightarrow a_{2}=\dfrac{-Τ_{2}}{m}$$ $$\Rightarrow a_{2}=\dfrac{-5\ Ν}{1\ kg}$$ $$\Rightarrow a_{2}=-5\ \dfrac{m}{s^2}$$

Άρα, ο κύβος στη διαδρομή \((ΑΓ)\) εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση που έχει μέτρο \(5\ \dfrac{m}{s^2}\) και κατεύθυνση αντίρροπη της ταχύτητας. Τελικά εφαρμόζοντας την εξίσωση της ταχύτητας στην διαδρομή \((ΑΓ)\) υπολογίζουμε τη χρονική διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης και τη χρονική στιγμή \(t_{2}\) που ο κύβος ακινητοποιείται:

$$υ=υ_{o}+α_{2}\cdot Δt_{1}$$ $$\Rightarrow υ_{Γ}=υ_{1}+α_{2}\cdot Δt_{2}$$ $$\Rightarrow 0=\dfrac{13\ m}{s}-5\cdot Δt_{2}$$ $$\Rightarrow Δt_{2}=2,6\ s$$ $$\Rightarrow t_{2}-t_{1} = 2,6\ s$$ $$\Rightarrow t_{2}=4,6\ s$$

4.3) Tο έργο της τριβής από τη χρονική \(t_{0}=0\) έως τη χρονική στιγμή που ο κύβος ακινητοποιείται υπολογίζεται με τη βοήθεια του ορισμού του έργου σταθερής δύναμης:

$$W_{Τ}=|\vec{Τ}_{1}|\cdot |Δ\vec{x}_{ΟΑ}|\cdot συν180^{0}+|\vec{Τ}_{2}|\cdot |Δ\vec{x}_{ΑΓ}|\cdot συν180^{0}$$ $$=-Τ_{1}\cdot Δx_{1}-Τ_{2}\cdot Δx_{2}\ \ \ \ (1)$$

Εφαρμόζοντας την εξίσωση της μετατόπισης στη διαδρομή \((ΟΑ)\) υπολογίζουμε:

$$Δx_{1}=υ_{o}\cdot Δt_{1}+\dfrac{1}{2}\cdot α_{1}\cdot Δt^{2}$$ $$\Rightarrow Δx_{1}=\left(1\cdot 2+\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2^{2}\right)\ m$$ $$Δx_{1}=14\ m$$

Αντίστοιχα, εφαρμόζοντας την εξίσωση της μετατόπισης στη διαδρομή \((ΑΓ)\), υπολογίζουμε:

$$Δx_{2}=υ_{1}\cdot Δt_{2}+\dfrac{1}{2}\cdot α_{2}\cdot Δt_{2}^{2}$$ $$\Rightarrow Δx_{2}=\left(13\cdot 2,6-\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 2,6^{2}\right)\ m$$ $$Δx_{2}=16,9\ m$$

Τέλος, αντικαθιστώντας τις μετατοπίσεις στην \((1)\), υπολογίζουμε:

$$W_{Τ}=-(2\cdot 14+5\cdot 16,9)\ J=-112,5\ J$$

4.4) Η εξίσωση της ταχύτητας για τη διαδρομή \((ΟΑ)\) είναι:

$$υ=υ_{ο}+α_{1}\cdot t$$ $$\Rightarrow υ=1+6\cdot t\ \ \text{(S.I), για}\ 0 \le t \le 2\ s$$

Και αντίστοιχα για τη διαδρομή \((ΑΓ)\):

$$υ=υ_{ο}+α_{2}\cdot (t-2)$$ $$\Rightarrow υ=13-5\cdot (t-2)\ \ \text{(S.I), για}\ 2\ s \le t \le 4,6\ s$$

Και στη συνέχεια απεικονίζεται το ζητούμενο διάγραμμα για \(0 \le t \le 4,6\ s\):