Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Είστε Μαθηματικός;
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ευκαιρίες Απασχόλησης
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Προσθήκη στις Εκτυπώσεις Προσθήκη Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 65886 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14499 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Οκτ-2021 Ύλη: 7.4. Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα - Αναλογίες 7.7. Θεώρημα του Θαλή
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Β' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14499
Ύλη: 7.4. Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα - Αναλογίες 7.7. Θεώρημα του Θαλή
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Οκτ-2021
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\). Θεωρούμε \(ΑΜ\) τη διάμεσό του και \(Ε\) τυχαίο σημείο του τμήματος \(ΒΜ\). Από το \(Ε\) φέρουμε ευθεία παράλληλη στην \(ΑΜ\) που τέμνει την πλευρά \(ΑΒ\) στο \(Δ\) και την προέκταση της \(ΓΑ\) στο \(Ζ\).

α) Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας:

  1. \(\dfrac{ΔΕ}{...}=\dfrac{...}{ΒΜ}=\dfrac{ΒΔ}{...}\)

  2. \(\dfrac{...}{ΑΜ}=\dfrac{ΓΕ}{...}=\dfrac{...}{ΓΑ}\)

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι \(ΔΕ + ΕΖ = 2ΑΜ\) για οποιαδήποτε θέση του \(Ε\) στο \(ΒΜ\).
(Μονάδες 13)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)
ΛΥΣΗ

α)

  1. Οι πλευρές \(ΒΕ\) και \(ΒΔ\) του τριγώνου \(ΒΕΔ\) ανήκουν στις πλευρές \(ΒΜ\) και \(ΒΑ\) αντίστοιχα, του τριγώνου \(ΒΜΑ\) και επιπλέον η τρίτη του πλευρά \(ΔΕ\) είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά \(ΑΜ\) του τριγώνου \(ΒΜΑ\). Οπότε οι πλευρές του τριγώνου \(ΒΕΔ\) είναι ανάλογες προς τις πλευρές του τριγώνου \(ΒΜΑ\).
    Δηλαδή ισχύει: \(\dfrac{ΔΕ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΕ}{ΒΜ}=\dfrac{ΒΔ}{ΒΑ}\) (1).
  2. Ομοίως οι πλευρές \(ΓΖ\) και \(ΓΕ\) του τριγώνου \(ΓΖΕ\) βρίσκονται στους φορείς των πλευρών \(ΓΑ\) και \(ΓΜ\) του τριγώνου \(ΓΑΜ\) και οι τρίτες τους πλευρές \(ΕΖ\) και \(ΑΜ\) είναι παράλληλες. Οπότε τα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή ισχύει:
    \(\dfrac{ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΓΕ}{ΓΜ}=\dfrac{ΓΖ}{ΓΑ}\) (2).

β) Από τις σχέσεις (1) και (2) του α) ερωτήματος έχουμε ότι \(\dfrac{ΔΕ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΕ}{ΒΜ}\) και \(\dfrac{ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΓΕ}{ΓΜ}\). Επειδή το σημείο \(M\) είναι το μέσο της πλευράς \(ΒΓ\) τα τμήματα \(ΒΜ\) και \(ΓΜ\) είναι ίσα, οπότε οι προηγούμενες σχέσεις γράφονται: \(\dfrac{ΔΕ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΕ}{ΒΜ}\) και \(\dfrac{ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΓΕ}{ΒΜ}\). Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
\(\dfrac{ΔΕ}{ΑΜ}+\dfrac{ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΕ}{ΒΜ}+\dfrac{ΓΕ}{ΒΜ}\) ή \(\dfrac{ΔΕ+ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΕ+ΓΕ}{ΒΜ}\), δηλαδή \(\dfrac{ΔΕ+ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{ΒΓ}{ΒΜ} \Leftrightarrow \dfrac{ΔΕ+ΕΖ}{ΑΜ}=\dfrac{2 \cdot ΒΜ}{ΒΜ}=2\).
Άρα \(\dfrac{ΔΕ+ΕΖ}{ΑΜ}=2\) ή \(ΔΕ+ΕΖ=2ΑΜ\) για οποιαδήποτε θέση του \(Ε\) στο \(ΒΜ\).