Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4085 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 14886 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Απρ-2023 Ύλη: 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14886
Ύλη: 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Απρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{Α}=90^0\)), τα μέσα \(Δ\), \(Ε\), \(Ζ\) των πλευρών του και το ύψος του \(ΑΚ\). Αν \(Θ\) είναι το σημείο τομής των \(ΑΖ\) και \(ΔΕ\), τότε:

α) Να αποδείξετε ότι:

  1. Το τετράπλευρο \(ΑΔΖΕ\) είναι ορθογώνιο.
    (Μονάδες 8)
  2. \(ΑΘ=ΘΕ=\dfrac{ΒΓ}{4}\)
    (Μονάδες 7)

β) Αν επιπλέον είναι \(\hat{Γ}= 30^0\), τότε:

  1. να βρείτε τη γωνία \(\hat{ΑΖΒ}\).
    (Μονάδες 5)
  2. να αποδείξετε ότι \(ΒΚ =\dfrac{ΒΓ}{4}\).
    (Μονάδες 5)

α)
i.

Tο τμήμα \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), άρα \(ΕΖ \parallel ΑΒ\) οπότε και \(ΕΖ \parallel ΑΔ\) και \(ΕΖ =\dfrac{AB}{2} = ΑΔ\). Άρα το τετράπλευρο \(ΑΔΖΕ\) έχει τις απέναντι πλευρές του \(ΑΔ\) και \(ΕΖ\) ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον η γωνία του \(\hat{Α}\) είναι ορθή, άρα το τετράπλευρο \(ΑΔΖΕ\) είναι ορθογώνιο.

ii.Το τμήμα \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), οπότε \(ΔΕ \parallel ΒΓ\) και \(ΔΕ =\dfrac{ΒΓ}{2}\).
Οι \(ΑΖ\), \(ΔΕ\) είναι διαγώνιες του ορθογωνίου \(ΑΔΖΕ\), οπότε είναι ίσες και διχοτομούνται με \(Θ\) το κέντρο του. Άρα \(ΑΘ =\dfrac{ΑΖ}{2} = \dfrac{ΔΕ}{2}= ΘΕ\). Το ευθύγραμμο τμήμα \(ΘΕ\) ενώνει τα μέσα των \(ΑΖ\) και \(ΑΓ\) στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\), άρα \(ΘΕ = \dfrac{ΖΓ}{2} = \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2} = \dfrac{ΒΓ}{4}\).

β)
i.Επειδή \(\hat{ΖΕΓ}= 90^0\), το \(ΖΕ\) είναι ύψος στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) και επειδή είναι και διάμεσος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα \(\hat{ΖΑΓ}= \hat{Γ} = 30^0\).
Η γωνία \(\hat{ΑΖΒ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\), άρα: \(\hat{ΑΖΒ} = \hat{ΖΑΓ} + \hat{Γ} = 60^0\).
ii.Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι \(\hat{Γ}= 30^0\), άρα \(AB =\dfrac{ΒΓ}{2}\) (1). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\), έχουμε: \(\hat{Β} + \hat{Γ} = 90^0\) ή \(\hat{Β}= 60^0\). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΚΒ\) έχουμε: \(\hat{BΑK} + \hat{Β} = 90^0\) ή \(\hat{BΑK} = 30^0\). Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΚ\) είναι \(BΚ =\dfrac{ΑΒ}{2}\) και λόγω της (1) \(ΒΚ = \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2}\) ή \(ΒΚ=\dfrac{ΒΓ}{4}\).