Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 5040 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 14963 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 10-Φεβ-2023 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Άλγεβρα | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 14963 | ||
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η εξίσωση \(|x-4|-|x-2|=2\).
α) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της παραπάνω εξίσωσης.
(Μονάδες 8)
β) Να αιτιολογήσετε γεωμετρικά ότι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που ανήκουν στο \((-∞,2]\) και μόνο αυτοί.
(Μονάδες 8)
γ) Αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε να δείξετε ότι \(x^{2}-6x+8≥0\).
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς \(x\) των οποίων η απόσταση από το \(4\) είναι δύο μονάδες μεγαλύτερη από την απόστασή τους από το \(2\). Δηλαδή:
$$d(x,4)-d(x,2)=2$$
β) Έστω ότι τα σημεία \(Μ\), \(Α\), \(Β\) αναπαριστούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς \(x\), \(2\), \(4\) αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.
Παρατηρούμε ότι \(d(2,4)=(ΑΒ)=2\).
Για κάθε αριθμό \(x∈(-∞,2]\) είναι \(d(x,4)-d(x,2)=(ΜΒ)-(ΜΑ)=(ΑΒ)=2\).
Για κάθε αριθμό \(x∈(2,4]\) είναι:
$$d(x,4)-d(x,2) < d(x,4)+d(x,2)$$ $$=(ΜΒ)+(ΜΑ)=(ΑΒ)=2$$
και άρα:
$$d(x,4)-d(x,2)≠2$$
Για κάθε αριθμό \(x∈(4,+∞)\) είναι \((ΜΒ)<(ΜΑ)\) οπότε \(d(x,4)<d(x,2)\) δηλαδή \(d(x,4)-d(x,2)<0\) και άρα \(d(x,4)-d(x,2)≠2\).
γ) όπως δείξαμε στο β), αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει \(x\) ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\).
Το τριώνυμο \(x^{2}-6x+8\) έχει ρίζες τους αριθμούς \(2\) και \(4\) και γίνεται μη αρνητικό για \(x∈(-∞,2]∪[4,+∞)\).
Συνεπώς αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει ότι \(|x-4|-|x-2|=2\), τότε \(x∈(-∞,2]\) και \(x^{2}-6x+8≥0\).