α)
Ισχύει ότι \(συν(\dfrac{π}{2}-αx)=ημαx\) και \(συν(π-αx)=-συναx\).
Άρα, ο τύπος της συνάρτησης γίνεται:

\begin{align} f(x) & =ημαx(ημαx+2)-συναx(-συναx)-1\\ \Rightarrow f(x) & =ημ^{2}αx+2ημαx+συν^{2}αx-1\\ \Rightarrow f(x) & =1+2ημαx-1=2ημαx.\end{align}

Η \(ημαx\) έχει περίοδο \(Τ=\dfrac{2π}{α}\). Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι η συνάρτηση \(f\) έχει περίοδο \(Τ=π\). Άρα,

$$\dfrac{2π}{α}=π\Leftrightarrow α=2.$$

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης της \(f\) με την ευθεία \(y=1\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης:

$$2ημ2x=1\Leftrightarrow ημ2x=\dfrac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow ημ2x=ημ\dfrac{π}{6}.$$

Οπότε,

$$\begin{cases} 2x=\dfrac{π}{6}+2κπ \\ 2x=π-\dfrac{π}{6}+2κπ \end{cases},\quad κ\in \mathbb{Z}$$ $$\begin{cases} x=\dfrac{π}{12}+κπ \\ x=\dfrac{5π}{12}+κπ \end{cases},\quad κ\in \mathbb{Z}$$

Επειδή \(x∈[0,π]\) έχουμε ότι:

\begin{align} & 0≤x≤π\\ \Leftrightarrow & 0≤\dfrac{π}{12}+κπ≤π \\ \Leftrightarrow & -\dfrac{1}{12}≤κ≤1-\dfrac{1}{12}\\ \Leftrightarrow & -\dfrac{1}{12}≤κ≤\dfrac{11}{12}, \quad κ\in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow & k=0\end{align}

\begin{align} & 0≤x≤π\\ \Leftrightarrow & 0≤\dfrac{5π}{12}+κπ≤π\\ \Leftrightarrow & -\dfrac{5}{12}≤κ≤1-\dfrac{5}{12}\\ \Leftrightarrow & -\dfrac{5}{12}≤κ≤\dfrac{7}{12},\quad κ\in \mathbb{Z} \\ \Rightarrow & k=0. \end{align}

Άρα, \(x=\dfrac{π}{12}\) και ή \(x=\dfrac{5π}{12}\)