ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$(2-\sqrt{5})^{2}=4-4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$ $$=4-4\sqrt{5}+5$$ $$=9-4\sqrt{5}$$

Ομοίως έχουμε:

$$(2+\sqrt{5})^{2}=4+4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$ $$=4+4\sqrt{5}+5$$ $$=9+4\sqrt{5}$$

β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:

$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$$ $$=|2-\sqrt{5}|$$ $$=\sqrt{5}-2$$

αφού ο αριθμός \(2-\sqrt{5}\) είναι αρνητικός οπότε:

$$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$$

Επίσης:

$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^{2}}$$ $$=|2+\sqrt{5}|$$ $$=2+\sqrt{5}$$

αφού ο αριθμός \(2+\sqrt{5}\) είναι θετικός, οπότε:

$$|2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}$$