ΛΥΣΗ

α)

1. Αφού το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-1)\) ισχύει ότι:

$$P(1)=0 $$ $$\Leftrightarrow 2\cdot 1^{3}+α\cdot 1^{2}+β\cdot 1-5=0 $$ $$\Leftrightarrow α+β=3$$

Επίσης το υπόλοιπο της διαίρεσης του \(P(x)\) με το \((x-2)\) είναι το \(P(2)\). Άρα,

$$P(2)=-1 $$ $$\Leftrightarrow 2\cdot 2^{3}+α\cdot 2^{2}+β\cdot 2-5=-1 $$ $$\Leftrightarrow 16+4α+2β-5=-1 $$ $$\Leftrightarrow 4α+2β=-12 $$ $$\Leftrightarrow 2α+β=-6$$

2. Για να βρούμε τις τιμές των \(α\), \(β\) λύνουμε το σύστημα:

$$\begin{cases} 2α+β=-6 \\ α+β=3 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2α+β=-6 \\ β=3-α \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2α+(3-α)=-6 \\ β=3-α \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α+3=-6 \\ β=3-α \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=-9 \\ β=12 \end{cases}$$

β) Κάνουμε τη διαίρεση \(P(x):(x-1)\) με το σχήμα Horner και έχουμε:

Άρα, \(P(x)=(x-1)(2x^{2}-7x+5)\). Το τριώνυμο \(2x^{2}-7x+5\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-7)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=9$$

και ρίζες:

$$x_{1}=\dfrac{7+\sqrt{9}}{4}=\dfrac{5}{2}$$

και:

$$x_{2}=\dfrac{7-\sqrt{9}}{4}=1$$

Άρα:

$$P(x)=(x-1)2(x-1)(x-\dfrac{5}{2})$$ $$=2(x-1)^{2}(x-\dfrac{5}{2})$$

Η γραφική παράσταση της \(P(x)\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(x'x\) για τις τιμές του \(x\) για τις οποίες

$$P(x)<0 $$ $$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x-\dfrac{5}{2})<0$$

Ο πίνακας προσήμων του \(P(x)\) είναι ο ακόλουθος:

Άρα:

$$P(x)<0 $$ $$\Leftrightarrow x\in (-\infty ,1)\cup (1,\dfrac{5}{2})$$

γ) Από το ερώτημα β) προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της \(P\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στα σημεία \((1,0)\) και \((\dfrac{5}{2},0)\). Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι η συνάρτηση \(P\) είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα \((-\infty ,1]\) και \([2,+\infty)\) και γνησίως φθίνουσα στο \([1,2]\).