ΛΥΣΗ

α) Η ανίσωση \(\frac{ω^2-1}{ω-3}>0\) με \(ω\neq3\) είναι ισοδύναμη με την \((ω^2-1)(ω-3)>0\).
Το πρόσημο του \((ω^2-1)(ω-3)\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Συνεπώς, η ανίσωση \(\frac{ω^2-1}{ω-3}>0\) αληθεύει για κάθε \(ω\in(-1,1)\cup(3,+\infty)\).

β) Η παράσταση \(Α\) ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή του \(x\) για την οποία ισχύει \(\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-3}>0\).
Αν θέσουμε \(e^x=ω\) η ανίσωση \(\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-3}>0\) γίνεται \(\frac{ω^2-1}{ω-3}>0\) που όπως δείξαμε στο α) αληθεύει για \(ω\in(-1,1)\cup(3,+\infty)\).

Συνεπώς θα πρέπει \(-1<ω<1\Leftrightarrow -1<e^x<1 \Leftrightarrow x<0\)
ή \(ω>3\Leftrightarrow e^x>3 \Leftrightarrow x>\ln3\)

Τελικά η παράσταση \(Α\) ορίζεται για κάθε \(x\in(-\infty,0)\cup(\ln3,+\infty)\).

γ) Η εξίσωση \(Α=-\ln3\) ορίζεται για κάθε \(x\in(-\infty,0)\cup(\ln3,+\infty)\) και γίνεται ισοδύναμα:

\begin{align} & \ln \Big(\frac{e^{2x}-1}{e^{x}-3} \Big)=\ln3^{-1} \\ \Leftrightarrow & \frac{e^{2x}-1}{e^{x}-3}=\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow & 3e^{2x}-3=e^x-3 \\ \Leftrightarrow & 3e^{2x}-e^x=0 \\ \Leftrightarrow & e^x(3e^x-1)=0 \\ \Leftrightarrow & 3e^x-1=0 \\ \Leftrightarrow & e^x=\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow & x=\ln\frac{1}{3} \end{align}

και επειδή \(\frac{1}{3}<1 \Leftrightarrow \ln\frac{1}{3}<0\) η λύση \(x=\ln\frac{1}{3}\) είναι δεκτή.