ΘΕΜΑ 4

4.1. Ισχύει:

$$𝜐_𝛿 = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 𝐺 \cdot 𝛭_𝛤}{𝑅_𝛤 + ℎ}} =$$

$$ = \sqrt{\dfrac{2 \cdot G \cdot 𝛭_𝛤}{2 \cdot 𝑅_𝛤}} = \sqrt{𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤} =8 \cdot 10^3\ \dfrac{𝑚}{𝑠}$$

Μονάδες 6

4.2. Ισχύει:

\begin{align}𝛫 &= 16 \cdot |𝑈|\\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 𝜐^2 &= 16 \cdot \dfrac{𝐺 \cdot 𝑀_𝛤 \cdot 𝑚}{𝑅_𝛤 + ℎ} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 𝜐^2 &= 16 \cdot \dfrac{𝑔_0 \cdot 𝑅^2_Γ \cdot 𝑚}{2 \cdot 𝑅_𝛤} \\ \Rightarrow 𝜐 &= \sqrt{16 \cdot 𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤} \\ \Rightarrow 𝜐 &= 32 \cdot 10^3\ \dfrac{𝑚}{𝑠} \end{align}

Ισχύει: \(𝜐 > 𝜐_𝛿\) και συνεπώς το σώμα Σ θα διαφύγει από το πεδίο βαρύτητας της Γης.
Μονάδες 6

4.3. Η μηχανική ενέργεια του σώματος Σ διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησής του, επειδή η μοναδική δύναμη που του ασκείται είναι η βαρυτική έλξη της Γης, δύναμη που είναι συντηρητική. Έτσι:

\begin{align} & 𝛦_{𝛼𝜌𝜒} = 𝛦_{𝜏𝜀𝜆} \\ \Rightarrow\ &𝛫_{𝛼𝜌𝜒} + 𝑈_{𝛼𝜌𝜒} = 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} + 𝑈_{𝜏𝜀𝜆} \\ \Rightarrow\ & \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 𝜐^2 - \dfrac{𝐺 \cdot 𝑀_𝛤 \cdot 𝑚}{𝑅_𝛤 + ℎ} = 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} + 0 \\ \Rightarrow\ & \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 16 \cdot 𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤 - \dfrac{𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤^2 \cdot 𝑚}{2 \cdot 𝑅_𝛤} = 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} \\ \Rightarrow\ & 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} =\dfrac{15}{2} \cdot 𝑚 \cdot 𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤 \\ \Rightarrow\ & 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} = 1,92 \cdot 10^9\ 𝐽 \end{align}

Μονάδες 6

4.4. Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας:

$$\begin{align} 𝑊_{\vec{w}} &= 𝛥𝛫 \Rightarrow\\ 𝑊_{\vec{w}} &= 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} – 𝛫_{𝛼𝜌𝜒} \Rightarrow\\ 𝑊_{\vec{w}} &= 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} - \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 𝜐^2= \Rightarrow\\ 𝑊_{\vec{w}} &= 𝛫_{𝜏𝜀𝜆} - \dfrac{1}{2} \cdot 𝑚 \cdot 16 \cdot 𝑔_0 \cdot 𝑅_𝛤 \Rightarrow\\ 𝑊_{\vec{w}} &= 1,92 \cdot 10^9\ 𝐽 − 2,048 \cdot 10^9\ 𝐽 \Rightarrow\\ 𝑊_{\vec{w}} &=- 1,28 \cdot 10^8\ 𝐽\end{align}$$

Μονάδες 7