α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(𝑓\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\Bbb{R}.\) Για τη συνάρτηση \(𝑓\) έχουμε:

$$\begin{align} & 𝑓(−𝑥)= 𝑓(𝑥) \\ \Leftrightarrow & (−𝑥)^4+𝜅(−𝑥)−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\ \Leftrightarrow & 𝑥^4−𝜅𝑥−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\ \Leftrightarrow & 2𝜅𝑥=0, \text{ για κάθε } 𝑥\in \Bbb{R}.\end{align}$$

Άρα, το \(2𝜅𝑥\) είναι το μηδενικό πολυώνυμο, οπότε \(2𝜅=0\) και ισοδύναμα \(𝜅=0.\)

β) Για \(𝜅=0\), η συνάρτηση \(𝑓\) είναι: \(𝑓(𝑥)=𝑥^4−1.\)

1. Με \(𝑥_1<𝑥_2≤0\) ισοδύναμα είναι:

$$𝑥_1^4>𝑥_2^4$$ $$𝑥_1^4−1>𝑥_2^4−1$$

Άρα: \(𝑓(𝑥_1)> 𝑓(𝑥_2).\)
Επομένως, η συνάρτηση \(𝑓\) είναι γνησίως φθίνουσα για \(𝑥∈(−∞,0].\)

2. Έχουμε:

$$𝑓(𝑥)≥−1\Leftrightarrow 𝑥^4−1≥−1\Leftrightarrow 𝑥^4≥0$$

που ισχύει για κάθε \(𝑥\in \Bbb{R}.\)

3. Για να βρούμε τα \(𝑥\in \Bbb{R}\) για τα οποία η γραφική παράσταση της \(𝑓\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(𝑥'𝑥\), λύνουμε την ανίσωση:

$$\begin{align} & 𝑓(𝑥)\lt 0 \\ \Leftrightarrow & 𝑥^4−1\lt 0 \\ \Leftrightarrow & (𝑥^2−1)\cdot (𝑥^2+1)\lt 0 \\ \Leftrightarrow & 𝑥^2−1\lt 0 \\ \overset{x^2+1>0}{\Longleftrightarrow} & (𝑥−1)\cdot (𝑥+1)\lt 0.\end{align}$$

Άρα \(𝑥\in (−1,1).\)
Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(𝑓\) βρίσκεται κάτω από τον άξονα \(𝑥'𝑥\) για \(𝑥\in (−1,1).\)