ΘΕΜΑ 4

4.1. Η οβίδα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς της (\(O\)) ακινητοποιείται στιγμιαία οπότε ακριβώς πριν την διάσπαση έχει μηδενική ταχύτητα και ορμή.
Κατά την έκρηξη που διαρκεί ελάχιστο χρόνο οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται είναι πολύ μεγαλύτερες του βάρους (εξωτερική δύναμη), οπότε το σύστημα θεωρείται μονωμένο και η ορμή του διατηρείται:

$$\vec{p}_{πριν}=\vec{p}_{μετά}$$

Λαμβάνοντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας του κομματιού με μάζα \(𝑚_{1}\) αμέσως μετά την έκρηξη:

$$0=𝑚_{1}\cdot 𝜐_{1}−𝑚_{2}\cdot 𝜐_{2}$$ $$\Rightarrow 𝜐_{2}=\dfrac{𝑚_{1}\cdot 𝜐_{1}}{𝑚_{2}}$$ $$\Rightarrow 𝜐_{2}=5\ 𝑚/𝑠$$

Άρα η ταχύτητα που αποκτά το κομμάτι μάζας \(𝑚_{2}\) αμέσως μετά την έκρηξη έχει μέτρο \(5\ 𝑚/𝑠\) και κατεύθυνση αντίθετη της \(\vec{u_{1}}\).
Μονάδες 7

4.2. Το κάθε κομμάτι εκτελεί οριζόντια βολή. Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η κίνηση τους προκύπτει από την επαλληλία μίας ελεύθερης πτώσης στον κατακόρυφο άξονα και μίας ευθύγραμμης ομαλής στον οριζόντιο.

Το χρονικό διάστημα που πέρασε από την στιγμή της κρούσης μέχρι το κάθε κομμάτι να αγγίξει το έδαφος \(𝛥𝑡_{𝜋}\) είναι το ίδιο και για τα δύο καθώς βάλλονται ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος.

Το \(𝛥𝑡_{𝜋}\) υπολογίζεται από την εξίσωση κίνησης της ελεύθερης πτώσης για ύψος \((𝛰𝛢)=ℎ = 20\ 𝑚\):

$$ℎ=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot 𝛥𝑡_{𝜋}^{2}$$ $$\Rightarrow 𝛥𝑡_{𝜋} =\sqrt{\dfrac{2\cdot ℎ}{𝑔}}$$ $$\Rightarrow 𝛥𝑡_{𝜋}=2\ 𝑠$$

Μονάδες 6

4.3. Κατά την οριζόντια βολή η τροχιά είναι παραβολική. Η εξίσωση κίνησης της ευθύγραμμης ομαλής υπολογίζει την μέγιστη οριζόντια απόσταση (βεληνεκές) για κάθε κομμάτι μετά τη διάσπαση. Συγκεκριμένα:
Κομμάτι μάζας \(𝑚_{1}\):

$$(𝛢𝛫)=𝜐_{1}\cdot 𝛥𝑡_{𝜋} =20\ 𝑚$$

Κομμάτι μάζας \(𝑚_{2}\):

$$(𝛢𝛬)=𝜐_{2}\cdot 𝛥𝑡_{𝜋} =10\ 𝑚$$

Άρα:

$$(𝛫𝛬)=(𝛢𝛫)+(𝛢𝛬)=30\ 𝑚$$

Μονάδες 7

4.4
Σύμφωνα με την αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων η ταχύτητα πρόσκρουσης του κομματιού με μάζα \(𝑚_{1}\) στο σημείο \(Κ\) προκύπτει από το διανυσματικό άθροισμα των ταχυτήτων στον κατακόρυφο άξονα (ελεύθερη πτώση) και στον οριζόντιο άξονα (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση).

Οριζόντιος άξονας:

$$𝜐_{𝛫,𝑥}=𝜐_{1}=10\ 𝑚/𝑠$$

Κατακόρυφος άξονας:

$$𝜐_{𝛫,𝑦}=𝑔\cdot 𝛥𝑡_{𝜋} =20\ 𝑚/𝑠$$

Οπότε,

$$𝜐_{𝛫}=\sqrt{𝜐_{𝛫,𝑥}^{2}+𝜐_{𝛫,𝑦}^{2}}$$ $$\Rightarrow 𝜐_{𝛫}=\sqrt{500}\ 𝑚/𝑠$$ $$\Rightarrow 𝜐_{𝛫}=10\cdot \sqrt{5}\ 𝑚/𝑠\ \text{(μέτρο)}$$

Και

$$𝜀𝜑φ=\dfrac{𝜐_{𝛫,𝑦}}{𝜐_{𝛫,𝑥}}=2\ \text{(κατεύθυνση)}$$

Μονάδες 5