ΘΕΜΑ 4
4.1. H βαρυτική έλξη \(\vec{F}_{g}\) που δέχεται το σώμα μάζας \(m_{1}\) από τη Γη δρα σαν κεντρομόλος:

$$F_{g}=F_{k} $$ $$\Rightarrow G\dfrac{M_{Γ}\cdot m_{1}}{(R_{Γ}+h)^{2}}=m_{1}\cdot \dfrac{υ_{1}^{2}}{R_{Γ}+h}$$

Επομένως,

$$υ_{1}=\sqrt{\dfrac{GM_{Γ}}{R_{Γ}+h}}$$ $$ \Rightarrow υ_{1}=\sqrt{\dfrac{g_{0}R_{Γ}^{2}}{\dfrac{16}{9}R_{Γ}}}$$ $$ \Rightarrow υ_{1}=\dfrac{3}{4}\sqrt{g_{0}R_{Γ}}$$

Άρα,

$$υ_{1}=6\cdot 10^{3}\ \dfrac{m}{s}$$

Παρατηρούμε ότι το μέτρο της ταχύτητας περιστροφής του σώματος είναι ανεξάρτητο από τη μάζα του. Το σώμα μάζας \(m_{2}\) περιστρέφεται στο ίδιο ύψος, επομένως:

$$υ_{1}=6\cdot 10^{3}\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 6

4.2. Η περίοδος περιστροφής του σώματος μάζας \(m_{1}\) είναι ίση με:

$$Τ_{1}=\dfrac{2π(R_{Γ}+h)}{υ_{1}}$$ $$ \Rightarrow Τ_{1}=\dfrac{32πR_{Γ}}{9υ_{1}}$$ $$ \Rightarrow T_{1}=11915\ s$$

Όμοια,

$$Τ_{2}=T_{1}=11915\ s$$

Μονάδες 6

4. 3. Κατά τη διάρκεια της πλαστικής κρούσης το σύστημα είναι μονωμένο στη διεύθυνση που κινούνται τα σώματα. Έστω \(m_{3}=m_{1}+m_{2}=3m_{1}\), η μάζα του συσσωματώματος.
Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής κατά την πλαστική κρούση.

$$Σ\vec{F}_{εξ}=0$$ $$ \Rightarrow \vec{p}_{\text{πριν}}=\vec{p}_{\text{μετά}}$$ $$ \Rightarrow -m_{1}υ_{1}+m_{2}υ_{2}=m_{3}υ_{3}$$ $$ \Rightarrow υ_{3}=\dfrac{υ_{1}}{3}$$

Επομένως,

$$υ_{3}=2\cdot 10^{3}\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 6

4. 4. Η ταχύτητα διαφυγής στη θέση που δημιουργείται το συσσωμάτωμα είναι ίση με:

$$υ_{δ}=\sqrt{\dfrac{2GM_{Γ}}{R_{Γ}+h}}$$ $$ \Rightarrow υ_{δ}=\sqrt{\dfrac{2g_{0}R_{Γ}^{2}}{\dfrac{16}{9}R_{Γ}}}$$ $$ \Rightarrow υ_{δ}=\dfrac{3}{4}\sqrt{2g_{0}R_{Γ}}$$ $$ \Rightarrow υ_{δ}=6\sqrt{2}\cdot 10^{3}\ \dfrac{m}{s}$$

Παρατηρούμε ότι, \(υ_{3}<υ_{δ}\), επομένως το συσσωμάτωμα δεν διαφεύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης.
Μονάδες 7