ΘΕΜΑ 2

2.1.
2.1.Α. Σωστή απάντηση η (β)
Μονάδες 4

2.1.B. Το σώμα στον οριζόντιο άξονα \(x’x\) εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και στον κατακόρυφο άξονα \(y’y\) ελεύθερη πτώση.
Η ταχύτητα στον άξονα \(x’x\) είναι σταθερή \(υ_{x}=υ_{0}\)
Η ταχύτητα στον άξονα \(y’y\) δίνεται από τον τύπο \(υ_{y}=g\cdot t\)
Το μέτρο της ταχύτητας \(υ=\sqrt{υ_{x}^{2}+υ_{y}^{2}}\ \ \ \ (1)\)
Αντικαθιστώ όπου \(υ =3 υ_{0}\) και όπου \(υ_{x}=υ_{0}\) και ο τύπος \((1)\) γίνεται \(3υ_{0}=\sqrt{υ_{0}^{2}+υ_{y}^{2}}\), υψώνω στο τετράγωνο και έχω

$$9υ_{0}^{2}=υ_{0}^{2}+υ_{y}^{2}$$ $$\Leftrightarrow υ_{y}^{2}=8υ_{0}^{2}$$ $$\Leftrightarrow υ_{y}=\sqrt{8υ_{0}^{2}}$$ $$\Leftrightarrow υ_{y}=2υ_{0}\sqrt{2}\ \ \ \ (2)$$

Η ταχύτητα

$$υ_{y}=g\cdot t$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{υ_{y}}{g} $$ $$\overset{(2)}{\Leftrightarrow} t=\dfrac{2υ_{0}\sqrt{2}}{g}$$

Μονάδες 8

2.2.
2.2.A. Σωστή απάντηση η (γ)
Μονάδες 4

2.2.B. Οι γωνιακές ταχύτητες των δύο κινητών είναι \(ω_1\) και \(ω_2\). Τα δύο κινητά μέχρι τη στιγμή συνάντησης διαγράφουν αντίστοιχα γωνίες \(φ_1\) και \(φ_2\) για τις οποίες ισχύει \(φ_1 + φ_2 = π \ \ \ \ (1)\)

Για τη γωνία \(φ_1\) ισχύει \(φ_1= ω_1 \cdot t \ \ \ \ (2)\)

και για την γωνία \(φ_2\) ισχύει \(φ_2= ω_2 \cdot t \ \ \ \ (3)\)

Η σχέση \((1)\) μέσω των σχέσεων \((2)\) και \((3)\) γίνεται

$$ω_{1}\cdot t+ω_{2}\cdot t=π$$ $$\Leftrightarrow (ω_{1}+ω_{2})\cdot t=π$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{π}{ω_{1}+ω_{2}}\ \ \ \ (4)$$

Οι γωνιακές συχνότητες \(ω_1\) και \(ω_2\) συνδέονται με τις συχνότητες \(f_1\) και \(f_2\) βάση των τύπων

$$ω_{1}=2π\cdot f_{1}\ \ \ \ (5)$$

και

$$ω_{2}=2π\cdot f_{2}\ \ \ \ (6)$$

Η σχέση \((4)\) μέσω των σχέσεων \((5)\) και \((6)\) γίνεται

$$t=\dfrac{π}{2π\cdot f_{1}+2π\cdot f_{2}}$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{π}{2π\cdot (f_{1}+f_{2})}$$ $$\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2(f_{1}+f_{2})}$$

Μονάδες 9