ΘΕΜΑ 2

2.1.

2.1.Α. Σωστή απάντηση η (α).

Μονάδες 4

2.1.B. H μέση κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία. Εφόσον η μέση κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου διατηρηθεί σταθερή και η θερμοκρασία δεν θα αλλάξει στην αρχική και τελική κατάσταση του αερίου.
Εφαρμόζουμε την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων αρχικά:

$$𝑝_{1}\cdot 𝑉=𝑛_{1}\cdot 𝑅\cdot T,\ (1)$$

Εάν αφαιρέσουμε τη μισή ποσότητα του αερίου από το δοχείο ο αριθμός των \(moles\) θα μειωθεί στο μισό, οπότε εφαρμόζοντας την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και στην τελική κατάσταση προκύπτει:

$$𝑝_{2}\cdot 𝑉=\dfrac{𝑛_{1}}{2}\cdot 𝑅\cdot 𝑇, \ (2) $$

Διαιρώντας τις \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο:

$$\dfrac{𝑝_{1}}{𝑝_{2}}=2$$ $$\Rightarrow 𝑝_{2}=\dfrac{𝑝_{1}}{2}$$

Μονάδες 8

2.2.
2.2.A. Σωστή απάντηση η (γ).

Μονάδες 4

2.2.B. Οι σφαίρες εκτελούν οριζόντια βολή της οποίας η τροχιά είναι παραβολική και η εξίσωση της προκύπτει από τις εξισώσεις κίνησης της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης και της ελεύθερης πτώσης με απαλοιφή του χρόνου:
Οριζόντιος άξονας:

$$𝑥=𝜐_{0}\cdot 𝑡$$ $$\Rightarrow 𝑡=\dfrac{𝑥}{𝜐_{0}}$$

Κατακόρυφος άξονας:

$$𝑦=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot 𝑡^{2}$$ $$\Rightarrow 𝑦=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot \dfrac{x^{2}}{υ_{0}^{2}},\ (1)$$

Εφαρμόζοντας την (1) για την σφαίρα \(Σ_{1}\) και τη σφαίρα \(Σ_{2}\) έχουμε:
Σφαίρα \(Σ_{1}:\)

$$ℎ_{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot \dfrac{𝑥_{1}^{2}}{𝜐_{0}^{2}}$$ $$\Rightarrow 4\cdot ℎ_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot \dfrac{𝑥_{1}^{2}}{𝜐_{0}^{2}},\ (2)$$

Σφαίρα \(Σ_{2}:\)

$$ℎ_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 𝑔\cdot \dfrac{𝑥_{2}^{2}}{𝜐_{0}^{2}}\ \ \ (3)$$

Διαιρώντας τις \((2)\) και \((3)\) κατά μέλη προκύπτει το ζητούμενο:

$$4=\dfrac{𝑥_{1}^{2}}{𝑥_{2}^{2}}$$ $$\Rightarrow 𝑥_{1} = 2\cdot 𝑥_{2}$$

Μονάδες 9