ΛΥΣΗ

α) Η δοθείσα γράφεται:

\begin{align}&x^2-2x+1+(y+2)^2=2x+6\\ \Leftrightarrow\;&(x^2-4x+1+3)+(y+2)^2=3+6\\ \Leftrightarrow\;&(x-2)^2+(y+2)^2=9\end{align}

Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο \(K(2,-2)\) και ακτίνα \(\rho=\sqrt{9}=3\).

β) Για να δείξουμε ότι η αρχή O των αξόνων είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου αρκεί να δείξουμε ότι η αρχή των αξόνων O απέχει από το κέντρο K απόσταση μικρότερη από την ακτίνα.

Πράγματι, είναι:

$$(KO)=\sqrt{(0-2)^2+(0+2)^2}=\sqrt{8}<\sqrt{9}=3=\rho$$

και έπεται το ζητούμενο.

γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας KO είναι:

$$\lambda_{KO}=\frac{y_O-y_K}{x_O-x_K}=\frac{0-(-2)}{0-2}=\frac{2}{-2}=-1.$$

Το τμήμα KO (απόστημα) είναι κάθετο στην \((\varepsilon)\) έτσι, έχουμε:

$$(\varepsilon)\perp KO\Rightarrow\lambda_\varepsilon\cdot\lambda_{KO}=-1\Rightarrow\lambda_\varepsilon\cdot(-1)=-1\Rightarrow\lambda_\varepsilon=1.$$

Η ευθεία \((\varepsilon)\) με συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda_\varepsilon=1\) διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα έχει εξίσωση:

$$y=\lambda_\varepsilon x\Leftrightarrow y=x.$$

δ) Είναι \((KAB)=\frac{1}{2}(KO)(AB)=\frac{1}{2}\sqrt{8}\,(AB)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\,(AB)=(AB)\sqrt{2}\).

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο OAK έχουμε:

$$(OA)^2=(KA)^2-(KO)^2\Leftrightarrow(OA)^2=3^2-\left(\sqrt{8}\right)^2\Leftrightarrow(OA)^2=9-8=1\Leftrightarrow(OA)=1.$$

Άρα \((AB)=2(OA)=2\cdot 1=2\) οπότε \((KAB)=2\sqrt{2}\) τετραγωνικές μονάδες.