ΛΥΣΗ

α) Η εξίσωση (1) της παραβολής είναι της μορφής \(x^2=2py\), με εστία \(E\!\left(0,\frac{p}{2}\right)\) πάνω στον άξονα \(y'y\) και διευθετούσα \(\delta: y=-\frac{p}{2}\), κάθετη στον άξονα \(y'y\).

Άρα, από την εξίσωση της παραβολής έχουμε \(y=\frac{1}{2}x^2\Leftrightarrow x^2=2y\), οπότε \(p=1\), επομένως η εστία θα είναι \(E\!\left(0,\frac{1}{2}\right)\) και η διευθετούσα \(\delta: y=-\frac{1}{2}\).

β) Η μορφή της εξίσωσης της εφαπτομένης της παραβολής \(x^2=2py\) σε ένα σημείο της \((x_1,y_1)\) είναι \(x\cdot x_1=p(y+y_1)\).

Άρα, η εξίσωση της εφαπτομένης της δοσμένης παραβολής στο σημείο \(A(2,2)\) είναι

$$2x=y+2\Leftrightarrow 2x-y-2=0.$$

γ) Η παραβολή (1), η εστία \(E\), η διευθετούσα \(\delta\) και η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο \(A(2,2)\) φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.