Θέμα: 20650

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 13449 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού	Τάξη:	Β' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	20650	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	09-Μαΐ-2026	Ύλη:	1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	20650
Ύλη:	1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου 3.1 Ο Κύκλος
Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 4

α) Δίνονται οι ευθείες $\varepsilon_1: y=x+2$, $\varepsilon_2: y=x-2$ και τα σημεία $A(-2,0)$, $B(2,0)$ των ευθειών $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι $\varepsilon_1//\varepsilon_2$.

(Μονάδες 04)

Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου $M$, του $AB$.

(Μονάδες 02)

Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$.

(Μονάδες 06)

β) Ο κύκλος $(K,\rho)$ έχει την ιδιότητα να εφάπτεται των ευθειών $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$. Αν το κέντρο $K$ του κύκλου $(K,\rho)$ ανήκει στην ευθεία $(\eta): x=\lambda$, όπου $\lambda\in\mathbb{R}$, τότε:

Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου $K$, συναρτήσει του $\lambda$.

(Μονάδες 05)

Να αποδείξετε ότι η ακτίνα $\rho$ είναι ανεξάρτητη του $\lambda$ και να γράψετε την εξίσωση που παριστάνει όλους τους κύκλους $(K,\rho)$, για τις διάφορες τιμές του $\lambda\in\mathbb{R}$.

(Μονάδες 08)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α)

Είναι $\varepsilon_1: y=x+2$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_1=1$ και $\varepsilon_2: y=x-2$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda_2=1$. Είναι $\lambda_1=\lambda_2$ άρα $\varepsilon_1//\varepsilon_2$.
Είναι $\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0$ και $\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{0+0}{2}=0$ άρα το μέσο του $AB$ είναι η αρχή των αξόνων $O(0,0)$.
α τρόπος

Είναι γνωστό ότι η μεσοπαράλληλος των ευθειών $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ είναι παράλληλη προς αυτές και διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων που έχουν τα άκρα τους στις $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$. Άρα έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda=\lambda_1=\lambda_2=1$ και διέρχεται από το μέσο $O(0,0)$ του $AB$. Η ζητούμενη εξίσωση είναι η $\varepsilon: y=\lambda x\Leftrightarrow y=1\cdot x\Leftrightarrow y=x$.

β τρόπος

Το σημείο $M(x,y)$, είναι σημείο της μεσοπαραλλήλου των ευθειών $\varepsilon_1: x-y+2=0$, $\varepsilon_2: x-y-2=0$ αν και μόνο αν ισχύει $d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2)$. Έτσι, έχουμε:

\begin{align} d(M,\varepsilon_1)=d(M,\varepsilon_2) &\Leftrightarrow \frac{|x-y+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|x-y-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\ &\Leftrightarrow |x-y+2|=|x-y-2| \\ &\Leftrightarrow x-y+2=x-y-2 \text{ ή } x-y+2=-x+y+2 \\ &\Leftrightarrow 2=-2 \text{ ή } x-y=-x+y \\ &\Leftrightarrow 2x=2y \Leftrightarrow y=x \end{align}

Επομένως, η εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των ευθειών $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ είναι η $\varepsilon: y=x$.

β)

Αφού το κέντρο $K(x_K,y_K)$ του κύκλου $(K,\rho)$ ανήκει στην ευθεία $(\eta): x=\lambda$, θα έχει $x_K=\lambda$. Επιπλέον το κέντρο $K$ είναι το μέσο της απόστασης των δυο εφαπτομένων του κύκλου $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$. Οπότε ανήκει στη μεσοπαράλληλό τους. Δηλαδή, είναι $y_K=x_K\Leftrightarrow y_K=\lambda$ με $K(\lambda,\lambda)$.
Είναι $\varepsilon_1: x-y+2=0$ οπότε η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με

$$\rho=d(K,\varepsilon_1)=\frac{|x_K-y_K+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|\lambda-\lambda+2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2},$$

ανεξάρτητη του $\lambda$.

Η ζητούμενη εξίσωση για τις διάφορες τιμές του $\lambda\in\mathbb{R}$, είναι η $(x-x_K)^2+(y-y_K)^2=\rho^2\Leftrightarrow(x-\lambda)^2+(y-\lambda)^2=2$.