ΛΥΣΗ

α)

1. Για να αποδείξουμε ότι τα σημεία A, B και Γ δεν είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι \(\overrightarrow{AB} \not\parallel \overrightarrow{A\Gamma}\).

Είναι

\begin{align} \overrightarrow{AB} &= (x_B - x_A,\, y_B - y_A) = (3-2,\,-1-1) = (1,-2) \\ \overrightarrow{A\Gamma} &= (x_\Gamma - x_A,\, y_\Gamma - y_A) = (-2-2,\,0-1) = (-4,-1) \end{align}

και

$$\det\!\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - (-2)\cdot(-4) = -1 - 8 = -9$$

Επειδή \(\det\!\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right) \neq 0\) είναι \(\overrightarrow{AB} \not\parallel \overrightarrow{A\Gamma}\) και έπεται το ζητούμενο.

2. Είναι \((AB\Gamma) = \dfrac{1}{2}\left|\det\!\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}\right)\right| = \dfrac{1}{2}\cdot|-9| = \dfrac{9}{2}\) τ.μ.

β) Το εμβαδό του τριγώνου \(\Delta A\Gamma\) ισούται με

\begin{align} (\Delta A\Gamma) &= \frac{1}{2}\left|\det\!\left(\overrightarrow{A\Gamma},\overrightarrow{A\Delta}\right)\right| = \frac{1}{2}\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ x-2 & y-1 \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\left|-4(y-1) - (-1)(x-2)\right| \\ &= \frac{1}{2}\left|-4y+4+x-2\right| = \frac{1}{2}|x-4y+2| \end{align}

Επομένως, το \(\Delta(x,y)\) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει

\begin{align} (\Delta A\Gamma) = (AB\Gamma) &\Leftrightarrow \frac{1}{2}|x-4y+2| = \frac{9}{2} \\ &\Leftrightarrow |x-4y+2| = 9 \\ &\Leftrightarrow x-4y+2 = 9 \text{ ή } x-4y+2 = -9 \\ &\Leftrightarrow x-4y-7 = 0 \text{ ή } x-4y+11 = 0 \end{align}

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες \(x - 4y - 7 = 0\) και \(x - 4y + 11 = 0\).

γ) Είναι \(\varepsilon_1: x - 4y - 7 = 0\) και \(\varepsilon_2: x - 4y + 11 = 0\).

1. Είναι \(\lambda_{A\Gamma} = \dfrac{y_\Gamma - y_A}{x_\Gamma - x_A} = \dfrac{0-1}{-2-2} = \dfrac{1}{4}\) και \(\lambda_{\varepsilon_1} = \lambda_{\varepsilon_2} = -\dfrac{1}{(-4)} = \dfrac{1}{4}\). Επειδή οι ευθείες \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) και \(A\Gamma\) έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης είναι μεταξύ τους παράλληλες.

2. α τρόπος

Είναι

$$d(\Gamma, \varepsilon_1) = \frac{|x_\Gamma - 4y_\Gamma - 7|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}} = \frac{|-2-4\cdot0-7|}{\sqrt{1+16}} = \frac{9}{\sqrt{17}} = \frac{9\sqrt{17}}{17} \text{ μονάδες μήκους}$$

$$d(\Gamma, \varepsilon_2) = \frac{|x_\Gamma - 4y_\Gamma + 11|}{\sqrt{1^2+(-4)^2}} = \frac{|-2-4\cdot0+11|}{\sqrt{1+16}} = \frac{9}{\sqrt{17}} = \frac{9\sqrt{17}}{17} \text{ μονάδες μήκους}$$

και επειδή οι ευθείες \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\) και \(A\Gamma\) είναι μεταξύ τους παράλληλες συμπεραίνουμε ότι ο ισχυρισμός «οι ευθείες \(x - 4y - 7 = 0\) και \(x - 4y + 11 = 0\) έχουν ως μεσοπαράλληλο την ευθεία \(A\Gamma\) » είναι αληθής.

β τρόπος

Από το ερώτημα (β) γνωρίζουμε ότι ισχύει \((\Delta A\Gamma) = (AB\Gamma)\) μόνο όταν το \(\Delta\) ανήκει στην ευθεία \(\varepsilon_1\) ή στην ευθεία \(\varepsilon_2\). Αν επιλέξουμε το \(\Delta\) να ανήκει στην ευθεία \(\varepsilon_1\), τότε έχουμε:

\begin{align} (\Delta A\Gamma) = (AB\Gamma) &\Leftrightarrow \frac{1}{2}A\Gamma \cdot d(\Delta, A\Gamma) = \frac{1}{2}A\Gamma \cdot d(B, A\Gamma) \\ &\Leftrightarrow d(\Delta, A\Gamma) = d(B, A\Gamma) \\ &\Leftrightarrow d(\varepsilon_1, A\Gamma) = d(\varepsilon_2, A\Gamma) \end{align}

Οπότε, ο ισχυρισμός «οι ευθείες \(x - 4y - 7 = 0\) και \(x - 4y + 11 = 0\) έχουν ως μεσοπαράλληλο την ευθεία \(A\Gamma\) » είναι αληθής.