ΛΥΣΗ

α) Το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου \(K\) από τα σημεία \(E(3,0)\) και \(E'(-3,0)\) είναι ίσο με 10. Επίσης \((EE') = 6 < 10\). Συνεπώς το \(K\) κινείται στην έλλειψη \(C\) με εστίες τα σημεία \(E\) και \(E'\) και σταθερό άθροισμα \(2\alpha = 10\). Είναι \(2\alpha = 10 \Leftrightarrow \alpha = 5\) και \(\gamma = 3\), οπότε \(\beta^2 = \alpha^2 - \gamma^2 = 25 - 9 = 16\) και άρα \(\beta = 4\). Η εξίσωση της \(C\) είναι η \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\).

β) Αρκεί να δείξουμε ότι το σύστημα \(\begin{cases} \dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1 \\ 3x + 5y = 25 \end{cases}\) έχει μοναδική λύση. Από τη 2η εξίσωση έχουμε ότι \(y = \dfrac{25 - 3x}{5}\) και με αντικατάσταση στην 1η εξίσωση έχουμε

\begin{align} \frac{x^2}{25} + \frac{\left(\dfrac{25-3x}{5}\right)^2}{16} = 1 &\Leftrightarrow \frac{x^2}{25} + \frac{625 - 150x + 9x^2}{400} = 1 \\ &\Leftrightarrow 16x^2 + 625 - 150x + 9x^2 = 400 \\ &\Leftrightarrow 25x^2 - 150x + 225 = 0 \\ &\Leftrightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 \\ &\Leftrightarrow (x-3)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow x = 3 \end{align}

Για \(x = 3\) είναι \(y = \dfrac{25 - 3 \cdot 3}{5} = \dfrac{16}{5}\), που σημαίνει ότι \(C\) και \((\varepsilon)\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο \(M\!\left(3, \dfrac{16}{5}\right)\).

γ) Το ότι η ευθεία \(\varepsilon\) και η έλλειψη \(C\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το \(M\), γραφικά σημαίνει ότι η ευθεία \(\varepsilon\) εφάπτεται της έλλειψης \(C\) στο σημείο \(M\).

Η έλλειψη \(C\) έχει κορυφές τα σημεία \(A(5,0)\), \(A'(-5,0)\), \(B(0,4)\), \(B'(0,-4)\) και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, όπως και η εφαπτομένη \((\varepsilon)\), που εκτός από το \(M\) διέρχεται και από το \((0,5)\).

δ) Από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης γνωρίζουμε ότι η διχοτόμος \((\delta)\) της γωνίας \(E\hat{M}E'\), είναι η κάθετη της εφαπτομένης στο σημείο \(M\), όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα. Συνεπώς αναζητούμε την κάθετη στην \((\varepsilon)\) που διέρχεται από το σημείο \(M\). Η ευθεία \((\varepsilon)\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda_\varepsilon = -\dfrac{3}{5}\), οπότε αφού \((\delta) \perp (\varepsilon)\), είναι

$$\lambda_\varepsilon \cdot \lambda_\delta = -1 \Leftrightarrow -\frac{3}{5} \cdot \lambda_\delta = -1 \Leftrightarrow \lambda_\delta = \frac{5}{3}$$

Τελικά η ζητούμενη διχοτόμος \((\delta)\) έχει εξίσωση

$$(\delta): y - y_M = \lambda_\delta \cdot (x - x_M) \Leftrightarrow y - \frac{16}{5} = \frac{5}{3} \cdot (x - 3)$$