Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 10901 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Τάξη: | Β' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 20724 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 09-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 20724 | ||
| Ύλη: | 2.1. Εξίσωση Ευθείας 2.3. Εμβαδόν Τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Η ευθεία \(\varepsilon\) με εξίσωση \(x + y - 1 = 0\) του παρακάτω σχήματος, αναπαριστά τη γραμμή ενός σιδηροδρομικού δικτύου που εξυπηρετεί τους κατοίκους δύο πόλεων \(A(8,1)\), \(B(-7,4)\) (για την ακρίβεια \(A\), \(B\) είναι τα κεντρικά σημεία των πόλεων από τα οποία μετράμε αποστάσεις). Για το λόγο αυτό θα κατασκευαστεί κατά μήκος της γραμμής \((\varepsilon)\), ένας σταθμός σε ένα σημείο Σ και μία πεζογέφυρα σε ένα σημείο Π.
Να βρείτε:
α) ποια πόλη από τις \(A\), \(B\) είναι πλησιέστερα στη γραμμή του τραίνου.
(Μονάδες 06)
β) τις συντεταγμένες του Π, αν είναι γνωστό ότι θα κατασκευαστεί στο πλησιέστερο σημείο της γραμμής στην πόλη \(B\).
(Μονάδες 07)
γ) τις συντεταγμένες του Σ στις παρακάτω περιπτώσεις
- ο σταθμός Σ να ισαπέχει από τις πόλεις \(A\), \(B\).
(Μονάδες 06)
- το οδικό δίκτυο που θα συνδέει το σταθμό Σ με τις πόλεις \(A\), \(B\) να έχει το μικρότερο δυνατό μήκος.
(Μονάδες 06)
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(d(A,\varepsilon) = \dfrac{|8+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{8}{\sqrt{2}}\) και \(d(B,\varepsilon) = \dfrac{|-7+4-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}}\), οπότε η πόλη \(B\) είναι πλησιέστερα στη γραμμή του τραίνου.
β) Το πλησιέστερο σημείο Π της πόλης \(B\) στην ευθεία \((\varepsilon)\), είναι η προβολή του σημείου \(B\) στην ευθεία \((\varepsilon)\). Η ευθεία \((\varepsilon)\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda_\varepsilon = -1\), οπότε η κάθετη της ευθεία \((\eta)\) θα έχει \(\lambda_\eta = 1\). Η ευθεία \((\eta)\) θα έχει εξίσωση
$$y - y_B = \lambda_\eta(x - x_B) \Leftrightarrow y - 4 = 1 \cdot (x + 7) \Leftrightarrow y = x + 11$$
Οι συντεταγμένες του σημείου Π είναι η λύση του συστήματος \(\begin{cases} x + y = 1 \\ y = x + 11 \end{cases}\).
Με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η έχουμε: \(x + x + 11 = 1 \Leftrightarrow 2x = -10 \Leftrightarrow x = -5\) και στη συνέχεια βρίσκουμε \(y = 6\). Συνεπώς το σημείο Π έχει συντεταγμένες \(\Pi(-5, 6)\).
γ)
- Ο σταθμός Σ θα ισαπέχει από τις πόλεις \(A\), \(B\) αν και μόνο αν ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος AB. Η ευθεία AB έχει \(\lambda_{AB} = \dfrac{4-1}{-7-8} = \dfrac{3}{-15} = -\dfrac{1}{5}\), οπότε η μεσοκάθετος \((\zeta)\) του AB έχει συντελεστή διεύθυνσης \(\lambda_\zeta\) για τον οποίο ισχύει
$$\lambda_\zeta \cdot \lambda_{AB} = -1 \Leftrightarrow \lambda_\zeta \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1 \Leftrightarrow \lambda_\zeta = 5$$
Το μέσο \(E\) του τμήματος AB έχει συντεταγμένες \(E\!\left(\dfrac{-7+8}{2}, \dfrac{4+1}{2}\right)\), δηλαδή \(E\!\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right)\).
Η ευθεία \((\zeta)\) θα έχει εξίσωση \(y - y_E = \lambda_\zeta(x - x_E) \Leftrightarrow y - \dfrac{5}{2} = 5 \cdot \left(x - \dfrac{1}{2}\right) \Leftrightarrow y = 5x\).
Οι συντεταγμένες του σημείου Σ είναι η λύση του συστήματος \(\begin{cases} x + y = 1 \\ y = 5x \end{cases}\). Με αντικατάσταση της 2ης εξίσωσης στην 1η έχουμε \(x + 5x = 1 \Leftrightarrow 6x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{6}\) και κατόπιν \(y = \dfrac{5}{6}\). Συνεπώς το σημείο Σ έχει συντεταγμένες \(\Sigma\!\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{6}\right)\).
- Το οδικό δίκτυο που θα συνδέει το σταθμό Σ με τις πόλεις \(A\), \(B\) θα έχει το μικρότερο δυνατό μήκος αν και μόνο αν το Σ ανήκει στην ευθεία AB. Η ευθεία AB έχει \(\lambda_{AB} = -\dfrac{1}{5}\) και εξίσωση
$$y - y_A = \lambda_{AB}(x - x_A) \Leftrightarrow y - 1 = -\frac{1}{5}(x - 8) \Leftrightarrow 5y - 5 = -x + 8 \Leftrightarrow 5y + x = 13$$
Οι συντεταγμένες του σημείου Σ είναι η λύση του συστήματος \(\begin{cases} x + y = 1 \\ 5y + x = 13 \end{cases}\). Με αντικατάσταση της 2ης στην 1η έχουμε \(13 - 5y + y = 1 \Leftrightarrow -4y = -12 \Leftrightarrow y = 3\) και στη συνέχεια \(x = -2\). Συνεπώς το σημείο Σ έχει συντεταγμένες \(\Sigma(-2, 3)\).
