Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 28298 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | Τάξη: | Β' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 20938 | Θέμα: | 4 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 09-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 1.1. Η Έννοια του Διανύσματος 1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Μαθηματικά Προσανατολισμού | ||
| Θέμα: | 4 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 20938 | ||
| Ύλη: | 1.1. Η Έννοια του Διανύσματος 1.4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 4
Σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων \(Oxy\), θεωρούμε τρίγωνο \(OAB\), με \(\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}\), \(\overrightarrow{OB} = (6,8)\). Για το διάνυσμα \(\vec{\alpha}\) γνωρίζουμε ότι \(\vec{\alpha} = (|\vec{\alpha}| - 4,\; |\vec{\alpha}| - 2)\).
α) Να δείξετε ότι \(|\vec{\alpha}| = 2\).
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε σημείο \(\Gamma\) έτσι, ώστε το τετράπλευρο \(O A \Gamma B\) να αποτελεί παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 08)
γ) Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η πλευρά \(OA\) με τη διαγώνιο \(AB\) του παραλληλογράμμου \(OA\Gamma B\).
(Μονάδες 07)
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
\begin{align} |\vec{\alpha}|^2 &= (|\vec{\alpha}| - 4)^2 + (|\vec{\alpha}| - 2)^2 \\ &\Leftrightarrow |\vec{\alpha}|^2 - 12|\vec{\alpha}| + 20 = 0 \\ &\Leftrightarrow |\vec{\alpha}| = 2 \text{ ή } |\vec{\alpha}| = 10 \end{align}
Αν \(|\vec{\alpha}| = 2\) τότε \(\vec{\alpha} = (-2,0)\) και τα διανύσματα \(\overrightarrow{OA} = \vec{\alpha} = (-2,0)\) και \(\overrightarrow{OB} = (6,8)\) δεν είναι παράλληλα (σχηματίζουν τρίγωνο), αφού:
$$\det(\vec{\alpha},\vec{\beta}) = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = -16 \neq 0$$
επομένως η λύση είναι δεκτή.
Αν \(|\vec{\alpha}| = 10\), τότε \(\vec{\alpha} = (6,8) = \overrightarrow{OB}\) επομένως τα διανύσματα \(\overrightarrow{OA}\) και \(\overrightarrow{OB}\) δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Έτσι, η λύση αυτή απορρίπτεται.
β) Για να είναι το τετράπλευρο \(OA\Gamma B\) παραλληλόγραμμο πρέπει και αρκεί \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{B\Gamma}\) \(\quad(1)\).
Αν \(\Gamma(x, y)\) τότε η σχέση \((1)\) γράφεται:
$$(-2,0) = (x-6,\; y-8) \Leftrightarrow x-6=-2 \text{ και } y-8=0 \Leftrightarrow x=4 \text{ και } y=8$$
δηλαδή \(\Gamma(4,8)\).
γ) Αρκεί να βρούμε την γωνία των διανυσμάτων \(\overrightarrow{AO}\) και \(\overrightarrow{AB}\).
Α΄ τρόπος: Το διάνυσμα \(\overrightarrow{AB}\) είναι \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (8,8)\). Επίσης \(\overrightarrow{AO} = -\overrightarrow{OA} = (2,0)\).
Αν \(\omega\) είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα \(\overrightarrow{AO}\) και \(\overrightarrow{AB}\), τότε:
$$\text{συν}\,\omega = \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AO}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} = \frac{16}{2 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \text{συν}\frac{\pi}{4} \Rightarrow \omega = \frac{\pi}{4}$$
Β΄ τρόπος: Από το παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι, αν \(E(6,0)\) είναι η προβολή του σημείου \(B\) πάνω στον άξονα \(x'x\), τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο \(ABE\) έχουμε:
$$\text{εφ}\,\omega = \frac{BE}{EA} = \frac{8}{8} = 1 = \text{εφ}\frac{\pi}{4} \Rightarrow \omega = \frac{\pi}{4}$$