α) i. Η εξίσωση \((1)\) είναι της μορφής

$$x^2+y^2+Αx+Βy+Γ=0,$$

με \(Α=-9\), \(Β=-3\), \(Γ=10\) και

$$Α^2+Β^2-4Γ=81+9-40=50>0.$$

Επομένως, το κέντρο του κύκλου είναι

$$Κ\left(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\right)=\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$$

και η ακτίνα του

$$R=\frac{\sqrt{A^2+B^2-4Γ}}{2}=\frac{\sqrt{50}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$

Εναλλακτική λύση (με συμπλήρωση τετραγώνου)
Η εξίσωση \((1)\) γράφεται ισοδύναμα

\begin{align}&x^2+y^2-9x-3y+10=0\\ \iff&x^2-2\cdot\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{2}\right)^2+y^2-2\cdot\frac{3}{2}y+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{9}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2-10\\ \iff&\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{81}{4}+\frac{9}{4}-\frac{40}{4}\\ \iff&\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{50}{4}\\ \iff&\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2.\end{align}

ii. Η απόσταση του κέντρου \(Κ\) από την ευθεία \((ε)\) είναι

\begin{align}d(K,ε)&=\frac{|4\cdot\frac{9}{2}+3\cdot\frac{3}{2}-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\ &=\frac{|\frac{25}{2}|}{5}\\ &=\frac{5}{2} < \frac{5\sqrt{2}}{2}=R.\end{align}

Άρα, η ευθεία \((ε)\) τέμνει τον κύκλο \((C)\) σε δύο σημεία \(Α\) και \(Β\).
iii. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων \((1)\) και \((2)\). Η εξίσωση \((2)\) γίνεται

$$3y=10-4x\iff y=\frac{10-4x}{3}.$$

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση \((1)\), οπότε έχουμε διαδοχικά:

\begin{align}&x^2+\left(\frac{10-4x}{3}\right)^2-9x-3\left(\frac{10-4x}{3}\right)+10=0\\ \iff&x^2+\frac{(10-4x)^2}{9}-9x-(10-4x)+10=0\\ \iff&x^2+\frac{(10-4x)^2}{9}-9x+4x=0\\ \iff&x^2+\frac{(10-4x)^2}{9}-5x=0\\ \iff&9x^2+(100-80x+16x^2)-45x=0\\ \iff&25x^2-125x+100=0\\ \iff&x^2-5x+4=0\quad(3)\end{align}

Οι λύσεις της εξίσωσης \((3)\) είναι \(x=1\), \(x=4\).
Για \(x=1\) είναι \(y=2\), ενώ για \(x=4\) είναι \(y=-2\).
Άρα, τα σημεία τομής της ευθείας \((ε)\) και του κύκλου \((C)\) είναι \(Α(1,2)\) και \(Β(4,-2)\).

β) i. Είναι

$$\overrightarrow{OA}=(x_A-x_O,y_A-y_O)=(1,2)$$

και

$$\overrightarrow{OB}=(x_B-x_O,y_B-y_O)=(4,-2).$$

Οπότε

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=1\cdot 4+2\cdot(-2)=0.$$

ii.

Αφού είναι \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\), η γωνία \(A\hat{O}B\) θα είναι ορθή. Επομένως, ο κύκλος με διάμετρο \(ΑΒ\) είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου τριγώνου \(ΟΑΒ\). Συνεπώς, διέρχεται από το σημείο \(Ο\).