ΘΕΜΑ 4
4.1.

Για το σύστημα βλήμα-κιβώτιο και για την πλαστική κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής:

$$\vec{p}_{\text{oλ, αρχ}}=\vec{p}_{\text{oλ, τελ}} $$ $$\Rightarrow m\cdot υ=(m+M)\cdot V $$ $$\Rightarrow 0,1\ Kg\cdot 160\ \dfrac{m}{s}=2\ Kg\cdot V $$ $$\Rightarrow V=8\ \dfrac{m}{s}$$

Μονάδες 5

4.2. Για την μείωση της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά την πλαστική κρούση έχουμε:

$$|ΔΚ_{β}|=|Κ_{\text{β,τελ}}-Κ_{\text{β,αρχ}}| $$ $$\Rightarrow |ΔΚ_{β}|=\left|\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot V^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot m\cdot υ^{2}\right| $$ $$\Rightarrow |ΔΚ_{β}|=\left|\dfrac{1}{2}\cdot 0,1\ Kg\cdot (8\ \dfrac{m}{s})^{2}-\dfrac{1}{2}\cdot 0,1\ Kg\cdot (160\ \dfrac{m}{s})^{2}\right| $$ $$\Rightarrow |ΔΚ_{β}|=1276,8\ J$$

Μονάδες 6

4.3. O ρυθμός μεταβολής της ορμής του κιβωτίου κατά την διάρκεια της ενσφήνωσης του βλήματος μέσα σ’ αυτό (θεωρούμενος σταθερός καθ’ όλη την διάρκεια της ενσφήνωσης), είναι ίσος με την μέση δύναμη που ασκεί το βλήμα στο κιβώτιο κατά την παραπάνω χρονική διάρκεια. Άρα:

$$\vec{F}_{\text{β-κ}}=\dfrac{Δp_{κ}}{Δt}=\dfrac{M\cdot V-0}{Δt} $$ $$\Rightarrow \vec{F}_{\text{β-κ}}=\dfrac{Δp_{κ}}{Δt}=\dfrac{1,9\ Kg\cdot 8\ \dfrac{m}{s}}{0,2\ s} $$ $$\Rightarrow \vec{F}_{\text{β-κ}}=\dfrac{Δp_{κ}}{Δt}=760\ \dfrac{kg\cdot m}{s^{2}}$$

Μονάδες 6

4.4.

α. To συσσωμάτωμα κινούμενο στο μη λείο οριζόντιο επίπεδο δέχεται σταθερή δύναμη τριβής, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, οπότε εκτελεί ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Εφαρμόζοντας τον 2ο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του συσσωματώματος έχουμε:

$$ΣF_{x}=(m+Μ)\cdot a $$ $$\Rightarrow -T=(m+Μ)\cdot a $$

Έχουμε:

$$T=μ \cdot N = μ \cdot (m+M) \cdot g$$

Επομένως:

$$-μ\cdot (m+Μ)\cdot g=(m+Μ)\cdot a $$ $$\Rightarrow a=-2\ \dfrac{m}{s^{2}}$$ $$V'=V+a\cdot Δt $$ $$\Rightarrow 0=8\ \dfrac{m}{s}-2\ \dfrac{m}{s^{2}}\cdot Δt $$ $$\Rightarrow Δt=4\ s$$

β.Για τον υπολογισμό της απόστασης που θα διανύσει το συσσωμάτωμα στο μη λείο επίπεδο εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Κ.Ε. μεταξύ των θέσεων \((1)\) και \((2)\).

$$Κ_{\text{τελ}}-Κ_{\text{αρχ}}=W_{ολ} $$ $$\Rightarrow 0-\dfrac{1}{2}\cdot (m+M)\cdot V^{2}=-T\cdot d $$ $$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\cdot (m+M)\cdot V^{2}=μ\cdot (m+M)\cdot g\cdot d $$ $$\Rightarrow d=\dfrac{V^{2}}{2\cdot μ\cdot g} $$ $$\Rightarrow d=16\ m$$

Μονάδες 8