α) Είναι

\begin{align}\overrightarrow{AM}&=(x_M-x_A,y_M-y_A)\\ &=(x-(-1),y-0)\\ &=(x+1,y),\\ |\overrightarrow{AM}|&=\sqrt{(x+1)^2+y^2},\\ \overrightarrow{BM}&=(x_M-x_B,y_M-y_B)\\ &=(x-1,y-0)\\ &=(x-1,y),\\ |\overrightarrow{BM}|&=\sqrt{(x-1)^2+y^2},\\ |\overrightarrow{AB}|&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\\ &=\sqrt{(1-(-1))^2+(0-0)^2}\\ &=\sqrt{2^2+0}\\ &=2\end{align}

και άρα

\begin{align}&\overrightarrow{AM}^2+\overrightarrow{BM}^2=9|\overrightarrow{AB}|\\ \iff&|\overrightarrow{AM}|^2+|\overrightarrow{BM}|^2=9\cdot 2\\ \iff&\left(\sqrt{(x+1)^2+y^2}\right)^2+\left(\sqrt{(x-1)^2+y^2}\right)^2=18\\ \iff&x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2=18\\ \iff&2x^2+2y^2+2=18\\ \iff&x^2+y^2=8.\end{align}

β) i. Για τα σημεία \(Γ\) και \(Δ\) του κύκλου ισχύει \(Γ∆^2=32\), δηλαδή

$$ΓΔ=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}.$$

Η εξίσωση του κύκλου είναι \(x^2+y^2=8\), οπότε η ακτίνα του \(ρ\) είναι \(ρ=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) και το κέντρο του το \(Ο(0,0)\). Παρατηρούμε ότι \(ΓΔ=2ρ\), οπότε τα σημεία \(Γ\) και \(Δ\) είναι αντιδιαμετρικά και επομένως η διάμετρος \(ΓΔ\) θα διέρχεται από το κέντρο \(Ο\) του κύκλου.
ii. Αφού η \(ΓΔ\) είναι διάμετρος και το σημείο \(Μ\) είναι σημείο του κύκλου, τότε \(Γ\hat{Μ}∆=90^o\) γιατί είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Επειδή τα διανύσματα \(\overrightarrow{ΜΓ}\) και \(\overrightarrow{Μ∆}\) είναι κάθετα, το εσωτερικό τους γινόμενο θα ισούται με μηδέν.