ΘΕΜΑ 4
4.1. Αρχικά το σώμα \(Σ\) ισορροπεί πάνω στο ελατήριο υπό την επίδραση των δυνάμεων του βάρους του \(W_{Σ}\) και της δύναμης του ελατηρίου \(F_{ελ}\), οπότε αν \(Δl\), η παραμόρφωση του ελατηρίου θα ισχύει:

$$ΣF=0$$ $$\Rightarrow F_{ελ}=W_{Σ}$$ $$\Rightarrow kΔl=m_{Σ}g$$ $$\Rightarrow Δl=0,1\ m$$

Τη χρονική στιγμή \(t_{0}=0\) το σώμα \(Σ\) βρίσκεται στη θέση που το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος, συνεπώς βρίσκεται στην θετική ακραία θέση της ταλάντωσης που θα εκτελέσει (σύμφωνα με την θετική φορά προς τα πάνω για την ταλάντωση). Συνεπώς το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα \(Σ\) είναι:

$$Α=Δl=0,1\ m$$

Μονάδες 6

4.2. Στη ράβδο ασκούνται οι δυνάμεις:

• το βάρος της \(W\) που ασκείται στο μέσο της (η ράβδος είναι ομογενής),
• η δύναμη \(Τ\) (τάση του νήματος), η δύναμη \(F\) (από την άρθρωση)
• και η δύναμη \(Ν\), που ασκεί το ελατήριο στη ράβδο και που το μέτρο της είναι ίσο με το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου \(F_{ελ}\).

Έστω ότι το σώμα \(Σ\) βρίσκεται σε μια τυχαία θέση πάνω από τη θέση ισορροπίας του όπου η απομάκρυνση της ταλάντωσής του είναι \(x\) (απόσταση από την θέση ισορροπίας του). Εφόσον το σώμα \(Σ\) εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πρέπει:

$$ΣF=-Dx$$ $$\Rightarrow F_{ελ}-W_{Σ}=-kx$$ $$\Rightarrow F_{ελ}=m_{Σ}g-kx$$ $$\Rightarrow F_{ελ}=10-100x\ \ \text{(S.I.)}\ \ \ \ (1)$$

όπου \(-0,1≤x≤+0,1\).
Για να ισορροπεί η ράβδος πρέπει:

$$Στ_{\text{(Α)}}=0$$ $$\Rightarrow τ_{F}+τ_{W}+τ_{N}+τ_{Τ}=0$$ $$\Rightarrow 0-W\cdot \dfrac{L}{2}-N\cdot (L-\dfrac{L}{4})+T_{y}\cdot \dfrac{L}{2}=0$$ $$\Rightarrow Tημφ\cdot \dfrac{L}{2}=mg\cdot \dfrac{L}{2}+F_{ελ}\cdot \dfrac{3L}{4}$$ $$\Rightarrow T=120+3F_{ελ}\ \ \text{(S.I.)}\ \ \ \ (2)$$

Αν λάβουμε υπόψη τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) καταλήγουμε:

$$Τ=150-300x \ \ \text{(S.I.)}\ \ \ \ (3)$$

όπου \(-0,1≤x≤+0,1\).
Η μέγιστη τιμή του μέτρου της τάσης του νήματος εξαιτίας της ταλάντωσης του σώματος \(Σ\) προκύπτει όταν το σώμα \(Σ\) βρεθεί στην κάτω ακραία του θέση (\(x=-Α\)). Συνεπώς:

$$T_{\text{max}}=180\ N$$

Μονάδες 8

4.3. Η ελάχιστη τιμή του μέτρου της τάσης του νήματος εξαιτίας της ταλάντωσης του σώματος \(Σ\) προκύπτει όταν το σώμα \(Σ\) βρεθεί στην πάνω ακραία του θέση (\(x=+Α\)), δηλαδή λόγω της σχέσης \((3)\):

$$Τ=T_{min}=120\ N$$

Εφόσον ισορροπεί η ράβδος πρέπει \(ΣF=0 \Rightarrow ΣF_{x}=0\) και \(ΣF_{y}=0\).

$$ΣF_{x}=0$$ $$\Rightarrow F_{x}=Τ_{x}$$ $$\Rightarrow F_{x}=Τσυνφ$$ $$\Rightarrow F_{x}=60\sqrt{3}\ Ν$$ $$ΣF_{y}=0$$ $$\Rightarrow F_{y}+Τ_{y}=W+N$$ $$\Rightarrow F_{y}=W+F_{ελ}-Tημφ$$ $$\Rightarrow F_{y}=0$$

Επομένως το μέτρο της δύναμης \(F\), που ασκείται στη ράβδο από την άρθρωση είναι:

$$F=\sqrt{F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}$$ $$\Rightarrow F=60\sqrt{3}\ N$$

Μονάδες 6

4.4. H γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος \(Σ\) δίνεται από τη σχέση:

$$ω=\sqrt{\dfrac{k}{m_{Σ}}}=10\ rad/s$$

H σχέση της απομάκρυνσης με το χρόνο στην απλή αρμονική ταλάντωση του σώματος \(Σ\) είναι της μορφής:

$$x=Aημ(ωt+φ_{o})$$

Tη χρονική στιγμή \(t_{0}=0\), το σώμα \(Σ\) ξεκινά την ταλάντωση από την θετική ακραία του θέση, οπότε:

$$+A=Aημφ_{ο}$$ $$\Rightarrow ημφ_{ο}=1$$ $$\Rightarrow φ_{ο}=\dfrac{π}{2}$$

Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος \(Σ\) σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:

$$x=0,1ημ(10t+\dfrac{π}{2})\ \ \text{(S.I.)}\ \ \ \ (4)$$

Για τη χρονική στιγμή \(t=\dfrac{π}{60}\ s\) βρίσκουμε \(x=0,05\sqrt{3}\ m\).

Εφαρμόζοντας αρχή διατήρησης ενέργειας στην ταλάντωση (ΑΔΕΤ) έχουμε:

$$Ε=Κ+U$$ $$\Rightarrow \dfrac{1}{2}kA^{2}=K+\dfrac{1}{2}kx^{2}$$ $$\Rightarrow K=0,125\ J$$

Μονάδες 5