Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5354 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Γ' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 26604 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Φεβ-2023 Ύλη: 1.2 Συναρτήσεις
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Γ' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 26604
Ύλη: 1.2 Συναρτήσεις
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Δυο εταιρείες \(Ε1\) και \(Ε2\) δραστηριοποιούνται στο χώρο της γεώτρησης νερού. Η πολιτική των χρεώσεων προς τους πελάτες τους είναι διαφορετική. Η εταιρεία \(Ε1\) χρεώνει \(1500\) ευρώ για την εκπόνηση της αρχικής μελέτης και \(200\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \(15\) πρώτα μέτρα. Αν δεν βρεθεί νερό μέχρι τα \(15\) μέτρα, τότε αλλάζει τη χρέωση από \(200\) σε \(250\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους μετά τα \(15\) πρώτα. Η \(Ε2\) χρεώνει \(300\) ευρώ για κάθε μέτρο βάθους.

α) Αν \(f(x)\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \(Ε1\) για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους, να βρείτε:

  1. Τον τύπο της συνάρτησης \(f\).
    (Μονάδες 6)
  2. Το ποσό που θα χρεώσει η εταιρεία \(Ε1\) σε πελάτη που χρειάστηκε να φτάσει σε βάθος \(12\) μέτρων μέχρι να βρει νερό.
    (Μονάδες 2)
  3. Αν κάποιος πελάτης ξόδεψε για τη γεώτρησή του \(5050\) ευρώ, σε ποιο βάθος έφτασε;
    (Μονάδες 2)

β) Αν \(g(x)\) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία \(Ε2\) για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους, να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \(g\).
(Μονάδες 3)

γ) Σε ποιο βάθος σταμάτησαν τη γεώτρησή τους δυο γείτονες που συνεργάστηκαν με διαφορετική εταιρεία ο καθένας τους, βρήκαν νερό στο ίδιο βάθος και πλήρωσαν ακριβώς το ίδιο ποσό;
(Μονάδες 6)

δ) Να βρείτε για ποιες τιμές της μεταβλητής \(x\) (μέτρα βάθους) συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \(Ε1\);
(Μονάδες 6)

ΛΥΣΗ

α) Η εταιρεία \(Ε1\) κοστολογεί με \(200\) ευρώ κάθε μέτρο βάθους μέχρι τα \(15\) πρώτα. Για \(x\) μέτρα βάθους το κόστος θα είναι \(200x\) αυξημένο κατά \(1500\) ευρώ που είναι το κόστος της εκπόνησης της μελέτης, όταν \(0≤ x ≤ 15\). Αν όμως χρειαστεί να ξεπεράσει τα \(15\) μέτρα βάθους τότε θα χρειαστεί να πληρώσει \((x-15)250\) για κάθε επιπλέον μέτρο μετά τα \(15\) πρώτα και \(15 \cdot 200+1500=4500\) ευρώ που είναι η χρέωση των \(15\) πρώτων μέτρων βάθους. Έτσι σε αυτή την περίπτωση το κόστος θα είναι \((x-15)250+4500\) ευρώ για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους με \(x>15\). Οπότε:

  1. \(f(x) = \begin{cases} 1500+ 200x\text{,}\ \ \text{όταν}\ \ 0 ≤ x≤15 \\ (x-15)250+4500\text{,}\ \ \text{όταν}\ \ x>15 \end{cases}\)

  2. Για \(12\) μέτρα βάθους γεώτρηση το ποσό που θα δαπανήσει είναι \(f(12) = 1500+200 \cdot 12 = 3900\) ευρώ.

  3. Μέχρι τα \(15\) μέτρα βάθους το ποσό που χρεώνει η εταιρεία είναι \(4500\) ευρώ. Οπότε \(x>15\). Έτσι έχουμε \(f(x)= 5050\) ή \((x-15)250+4500=5050\) ή \(x= 17,2\).

β) \(g(x) = 300x\) με \(x>0\).

γ) Δίνεται ότι για ίδια μέτρα βάθους πλήρωσαν το ίδιο ποσό. Αναζητούμε τιμή του \(x\) ώστε να ισχύει \(f(x) = g(x)\) ή \(1500+200x = 300x \Leftrightarrow x=15\) δεκτή (όταν \(0<x≤15\)) ή \((x-15)250+4500 = 300x \Leftrightarrow x=15\) απορρίπτεται (όταν \(x>15\)).

Άρα για γεώτρηση βάθους \(15\) μέτρων οι δύο εταιρείες χρεώνουν ακριβώς το ίδιο ποσό και δεν υπάρχει άλλη τιμή του \(x\) (μέτρα βάθους) για την οποία η χρέωση των δυο εταιρειών, για το ίδιο βάθος, να είναι ίδια.

δ) Για να συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \(Ε1\) για γεώτρηση \(x\) μέτρων βάθους, θα πρέπει το κόστος \(f(x)\) να είναι μικρότερο από το αντίστοιχο κόστος \(g(x)\) της εταιρείας \(Ε2\). Δηλαδή να ισχύει \(f(x) < g(x)\), οπότε:

  • Για \(0<x ≤15\), \(1500+200x <300x \Leftrightarrow x>15\) απορρίπτεται.
  • Για \(x>15\), \((x-15)250+4500 < 300x \Leftrightarrow x>15\), δηλαδή συμφέρει η επιλογή της εταιρείας \(Ε1\) όταν η γεώτρηση έχει περισσότερο από \(15\) μέτρα βάθους.