Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 2634 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού Τάξη: Γ' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 26712 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023 Ύλη: 2.1 Η έννοια της παραγώγου
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Γ' Λυκείου
Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 26712
Ύλη: 2.1 Η έννοια της παραγώγου
Τελευταία Ενημέρωση: 02-Μαρ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις μιας πολυωνυμικής συνάρτησης \(f\) τρίτου βαθμού ,η οποία είναι ορισμένη στο κλειστό διάστημα \([0,4]\), και της παραγώγου της, \(f'\).

α) Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης \(f\) στο \(x_{ο}=2\).
(Μονάδες 06)

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (\(ε\)) της γραφικής παράστασης της \(f\) στο \(x_{ο}=2\).
(Μονάδες 10)

γ) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία (\(ε\)) με τον άξονα \(x'x\).
(Μονάδες 09)

ΛΥΣΗ

α) H κλίση της συνάρτησης \(f\) στο \(x_{o}=2\) ισούται με \(f'(2)\) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f'\) παρατηρούμε ότι \(f'(2)=-1\).

β) Η εξίσωση της εφαπτομένης (\(ε\)) της γραφικής παράστασης της \(f\) στο \(x_{ο}=2\) είναι:

$$y-f(2)=f'(2)(x-2)\ \ \ \ (1)$$

Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) βρίσκουμε ότι:

$$f(2)=-\dfrac{29}{9}$$

Επομένως, η εξίσωση \((1)\) γίνεται:

$$y+\dfrac{29}{9}=-(x-2) $$ $$\Leftrightarrow y=-x+2-\dfrac{29}{9} $$ $$\Leftrightarrow y=-x-\dfrac{11}{9}$$

γ) Αν \(ω\) είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία (\(ε\)) με τον άξονα \(x'x\), τότε:

$$εφω=f'(2)$$ $$=-1$$ $$=-εφ45^{ο}$$ $$=εφ(180^{ο}-45^{ο})$$ $$=εφ135^{ο}$$

Άρα, \(ω=135^{ο}\).