ΛΥΣΗ

α) Η \(C\) έχει εστίες τα σημεία \(E(5,0)\), \(E'(-5,0)\) οπότε έχει εξίσωση της μορφής \(\dfrac{x^2}{α^2} - \dfrac{y^2}{β^2} = 1\) και \(γ = 5\). Από τον ορισμό της υπερβολής γνωρίζουμε ότι \(|(ME) - (ME')| = 2α\). Είναι

\begin{align} (ME) - (ME') &= \sqrt{(5-5)^2 + \left(\frac{9}{4} - 0\right)^2} - \sqrt{(5+5)^2 + \left(\frac{9}{4} - 0\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{81}{16}} - \sqrt{100 + \frac{81}{16}} \\ &= \frac{9}{4} - \sqrt{\frac{1681}{16}} = \frac{9}{4} - \frac{41}{4} = -\frac{32}{4} = -8 \end{align}

Συνεπώς \(2α = |-8| \Leftrightarrow α = 4\) οπότε έχει εκκεντρότητα \(ε = \dfrac{γ}{α} = \dfrac{5}{4}\).

β) Από τη σχέση \(γ^2 = α^2 + β^2\) έχουμε ότι \(5^2 = 4^2 + β^2 \Leftrightarrow β^2 = 9 \Leftrightarrow β = 3\).

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση της \(C\) είναι η \(\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\).

γ) Η διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{EME'}\) είναι η εφαπτόμενη στο \(M\!\left(5, \dfrac{9}{4}\right)\) που έχει εξίσωση

$$\frac{5 \cdot x}{16} - \frac{\dfrac{9}{4} \cdot y}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{5x}{16} - \frac{y}{4} = 1.$$

δ) Οι ασύμπτωτες της \(C\) έχουν εξισώσεις \(ε_1: y = \dfrac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x - 4y = 0\) και \(ε_2: y = -\dfrac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x + 4y = 0\). Τα διανύσματα \(\vec{δ_1}: (4,3)\) και \(\vec{δ_2}: (-4,3)\) είναι παράλληλα στις ευθείες \(ε_1\) και \(ε_2\) αντίστοιχα.

Είναι

$$\text{συν}(\vec{δ_1}, \vec{δ_2}) = \frac{\vec{δ_1} \cdot \vec{δ_2}}{|\vec{δ_1}| \cdot |\vec{δ_2}|} = \frac{-4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{-16 + 9}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{25}} = -\frac{7}{25}$$

οπότε το συνημίτονο της οξείας γωνίας που σχηματίζουν οι ασύμπτωτές της \(C\) είναι \(\dfrac{7}{25}\).