ΛΥΣΗ

α) Έστω \(K(x_K, y_K)\) το κέντρο του κύκλου.

Αφού το Κ είναι σημείο της ευθείας \(ε: y = 2x - 1\), ισχύει \(y_K = 2x_K - 1\). Άρα \(K(x_K, 2x_K - 1)\).

Ο κύκλος c εφάπτεται της ευθείας \(ζ: x + y - 2 = 0\) άρα ισχύει \(d(K, ζ) = ρ\).

Έχουμε:

\begin{align} d(K, ζ) = ρ &\Leftrightarrow \frac{|x_K + 2x_K - 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow |3x_K - 3| = 6 \\ &\Leftrightarrow 3x_K - 3 = 6 \text{ ή } 3x_K - 3 = -6 \Leftrightarrow x_K = 3 \text{ ή } x_K = -1. \end{align}

Αφού το Κ είναι σημείο του πρώτου τεταρτημορίου είναι \(x_K > 0\) οπότε \(x_K = 3\). Επομένως το κέντρο του κύκλου είναι το \(K(3,5)\) και η εξίσωση του κύκλου είναι:

$$c: (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 18.$$

β)

i. Η ευθεία ΚΑ είναι κάθετη στην εφαπτόμενη \(ζ\) του κύκλου \(c\) στο Α, άρα ισχύει:

\(λ_{ΚΑ} λ_ζ = -1 \Leftrightarrow λ_{ΚΑ} = 1\).

Επομένως η ευθεία (ΚΑ) έχει εξίσωση:

$$y - y_K = λ_{ΚΑ}(x - x_K) \Leftrightarrow y - 5 = 1(x - 3) \Leftrightarrow x - y + 2 = 0$$

ii. Το σημείο Α είναι το σημείο τομής της ευθείας \(ζ\) με την ευθεία ΚΑ. Για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων επιλύουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών \(ζ\) και ΚΑ:

$$\begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ 2x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 2 \\ x = 0 \end{cases}$$

άρα το Α έχει συντεταγμένες \((0,2)\).

γ) Η ευθεία \(ε\) τέμνει τον κύκλο στα σημεία Μ, Λ που είναι αντιδιαμετρικά. Επομένως \(ΜΛ = 2ρ\).

Το ύψος του τριγώνου ΑΛΜ προς την ΛΜ είναι ίσο με την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία \(ε\).

Είναι \(ε: y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x - y - 1 = 0\), άρα \(υ = d(A, ε) = \dfrac{|0 - 2 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}}\).

Οπότε:

$$E_{ΑΛΜ} = \frac{ΜΛ \cdot υ}{2} = \frac{2ρ \cdot υ}{2} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{10}}{5}.$$