Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 8617 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 33889 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 33889
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 26-Φεβ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

ΘΕΜΑ 4

α) Να λύσετε τις εξισώσεις

$$3x^{2}-14x+8=0\ \ \ \ (1)$$

και

$$8x^{2}-14x+3=0\ \ \ \ (2)$$

(Μονάδες10)

β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης \((2)\) είναι οι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης \((1)\) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής:

$$αx^{2}+βx+γ=0\ \ \ \ (3)$$

και

$$γx^{2}+βx+α=0\ \ \ \ (4)$$

με

$$α\cdot γ\ne 0$$

Να αποδείξετε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:
Αν ο αριθμός \(ρ\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((3)\) και \(α\cdot γ\ne 0\), τότε

  1. \(ρ\ne 0\).
    (Μονάδες 5)

  2. \(\dfrac{1}{ρ}\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((4)\).
    (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(3x^{2}-14x+8\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-14)^{2}-4\cdot 3\cdot 8$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση \(3x^{2}-14x+8=0\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{14+10}{6}=4$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 3}$$ $$=\dfrac{14-10}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$$

Το τριώνυμο \(8x^{2}-14x+3\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=(-14)^{2}-4\cdot 8\cdot 3$$ $$=196-96=100>0$$

οπότε η εξίσωση \(8x^{2}-14x+3=0\) έχει δυο ρίζες άνισες, τις:

$$x_{1}=\dfrac{-(-14)+\sqrt{100}}{2\cdot 8}$$ $$=\dfrac{14+10}{16}=\dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}$$

και

$$x_{2}=\dfrac{-(-14)-\sqrt{100}}{2\cdot 8}$$ $$=\dfrac{14-10}{16}=\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$$

β) Ο αριθμός \(ρ\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((3)\) αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$$αρ^{2}+βρ+γ=0\ \ \ \ (5)$$

  1. Εάν \(ρ=0\), τότε από την σχέση \((5)\) προκύπτει \(γ=0\), που είναι άτοπο, αφού \(α\cdot γ\ne 0\). Άρα \(ρ\ne 0\).

  2. Ο \(\dfrac{1}{ρ}\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((4)\) αν και μόνο αν

$$γ(\dfrac{1}{ρ})^{2}+β\cdot \dfrac{1}{ρ}+α=0$$ $$\overset{(\cdot ρ^{2})}{ \Longleftrightarrow }γ+βρ+αρ^{2}=0$$

που ισχύει λόγω της σχέσης \((5)\).