Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 7525 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34154 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34154
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί:

$$Α=\dfrac{1}{3-\sqrt{7}} \text{ και }Β=\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}$$

α) Να δείξετε ότι:

$$A+B=3 \text{ και } A\cdot B=\dfrac{1}{2}$$

(Μονάδες 12)

β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς \(Α,\ Β\).
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

$$\begin{align} A+B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}+\dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ & =\dfrac{3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}+\dfrac{3-\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{6}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{6}{9-7}\\ &=\dfrac{6}{2} \\ &=3 \end{align}

Ισχύει ότι:

\begin{align} A\cdot B & =\dfrac{1}{3-\sqrt{7}}\cdot \dfrac{1}{3+\sqrt{7}}\\ &=\dfrac{1}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}\\ &=\dfrac{1}{3^{2}-(\sqrt{7})^{2}}\\ &=\dfrac{1}{9-7}\\ &=\dfrac{1}{2} \end{align}

β) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$$x^{2}-Sx+P=0$$

με

$$S=A+B=3 \text{ και }P=Α\cdot B=\dfrac{1}{2}$$

Τελικά μια ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}-3x+\dfrac{1}{2}=0$$