ΛΥΣΗ

α)

i. Η ακτίνα \(OE\) στο σημείο επαφής \(E\) είναι κάθετη στην εφαπτομένη \((\varepsilon)\) του κύκλου. Το \(E\) είναι μέσο του τόξου \(BΓ\), οπότε τα τόξα \(BE\) και \(EΓ\) είναι ίσα, άρα και οι αντίστοιχες χορδές τους \(EB\) και \(EΓ\) θα είναι ίσες. Επίσης είναι \(OB = OΓ\) ως ακτίνες του κύκλου. Επομένως η ευθεία που ορίζουν τα σημεία \(O\) και \(E\) θα είναι μεσοκάθετος του τμήματος \(BΓ\). Οπότε η \(OE\) θα είναι κάθετη στην \(BΓ\) και επίσης είναι κάθετη στην ευθεία \((\varepsilon)\). Επομένως \(BΓ \parallel (\varepsilon)\) ως κάθετες ευθείες στην ίδια ευθεία \(OE\).

ii. Επειδή είναι \(OB = OΓ\) ως ακτίνες του κύκλου, το τρίγωνο \(OBΓ\) είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(BΓ\), οπότε οι προσκείμενες στη βάση γωνίες θα είναι ίσες, δηλαδή \(\widehat{OBΓ} = \widehat{OΓ B}\) \((1)\). Επίσης είναι \(\widehat{OBΓ} = \widehat{OZH}\) \((2)\) και \(\widehat{OΓ B} = \widehat{OHZ}\) \((3)\) ως εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες των παραλλήλων \(BΓ\) και \((\varepsilon)\) με τέμνουσες την \(OZ\) και \(OH\) αντίστοιχα. Από τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) και \((3)\) προκύπτει ότι \(\widehat{OZH} = \widehat{OHZ}\) \((4)\), οπότε το τρίγωνο \(OZH\) είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά \(ZH\).

β) Η \(OE\) είναι κάθετη στην \((\varepsilon)\), οπότε το τρίγωνο \(OEZ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα \(OZ\) και η \(BE\) είναι διάμεσος στην υποτείνουσα, άρα \(BE = \frac{OZ}{2} = OB = \rho\), όμως \(OE = OB = \rho\). Οπότε \(OE = OB = \frac{OZ}{2}\). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(OEZ\) η κάθετη πλευρά \(OE\) είναι το μισό της υποτείνουσάς του \(OZ\), άρα η απέναντι της κάθετης πλευράς γωνία θα είναι \(30^{\circ}\), δηλαδή \(\widehat{OZH} = 30^{\circ}\). Όμως \(\widehat{OZH} = \widehat{OHZ}\) (από σχέση \((4)\)), οπότε \(\widehat{OHZ} = 30^{\circ}\).

Για τις γωνίες του τριγώνου \(OZH\) ισχύει ότι \(\widehat{OZH} + \widehat{OHZ} + \widehat{ZOH} = 180^{\circ}\) ή \(30^{\circ} + 30^{\circ} + \widehat{ZOH} = 180^{\circ}\) ή \(\widehat{ZOH} = 120^{\circ}\).