Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 5940 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34319 Θέμα: 4
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 34319
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+κx-4\), με παράμετρο \(κ\in \mathbb{R}\).

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του \(κ\), το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 10)

β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 5)

γ) Αν \(x_{1}\) και \(x_{2}\) είναι οι ρίζες του τριωνύμου και \(α\), \(β\) είναι δύο πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει:

$$α < x_{1} < x_{2} < β$$

να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου \(α\cdot f(α)\cdot β\cdot f(β)\). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(f(x)=3x^{2}+κx-4\) έχει διακρίνουσα:
\(Δ=κ^{2}-4\cdot 3\cdot (-4)=κ^{2}+48>0,\) για κάθε \(κ \in \mathbb{R}\)
Άρα το τριώνυμο έχει για οποιαδήποτε τιμή του \(κ\) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

β) Για το γινόμενο των ριζών έχουμε:

$$P=x_{1}x_{2}$$ $$=\dfrac{γ}{α}$$ $$=\dfrac{-4}{3} < 0$$

Άρα, οι ρίζες είναι ετερόσημες.

γ) Επειδή \(x_{1}<x_{2}\) και οι ρίζες είναι ετερόσημες, ισχύει ότι:

$$x_{1} < 0 < x_{2}$$

Επίσης είναι \(α<x_{1}\) και \(x_{2} < β\). Άρα:

$$α<0\ \ \text{και}\ \ 0 < β\ \ \ \ (1)$$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Από τον πίνακα προσήμου συμπεραίνουμε ότι:

$$α < x_{1} $$ $$\Rightarrow f(α)>0\ \ \text{και}\ \ x_{2} < β $$ $$\Rightarrow f(β)>0\ \ \ \ (2)$$

Από τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) βρίσκουμε ότι:

$$α\cdot f(α)\cdot β\cdot f(β)<0$$