ΛΥΣΗ

α) Είναι \(\hat{A} = \hat{B}_3 = 60^{\circ}\) ως γωνίες ισοπλεύρων τριγώνων. Οι ίσες γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{B}_3\) είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των \(AΔ\) και \(EB\) που τέμνονται από την \(AΓ\), οπότε \(AΔ \parallel BE\).

Έστω ότι \(Δ E \parallel AB\). Τότε το τετράπλευρο \(AΔ EB\) θα έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες και θα είναι παραλληλόγραμμο, οπότε \(AΔ = BE\). Όμως \(AB = AΔ\) και \(BE = BΓ\) άρα \(AB = BΓ\) που είναι άτοπο αφού \(AB = 2BΓ\). Άρα οι \(Δ E\), \(AB\) τέμνονται και συνεπώς το \(AΔ EB\) είναι τραπέζιο.

β) Είναι \(\hat{B}_1 + \hat{B}_2 + \hat{B}_3 = 180^{\circ}\) ή \(60^{\circ} + \hat{B}_2 + 60^{\circ} = 180^{\circ}\) ή \(\hat{B}_2 = 60^{\circ}\) και \(\hat{B}_1 = 60^{\circ}\) ως γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου \(ABΔ\). Τα τρίγωνα \(Δ MB\) και \(Δ EB\) έχουν:

• \(Δ B\) κοινή πλευρά
• \(BM = EB\), αφού \(M\) είναι μέσο του \(AB\) και \(BM = \frac{AB}{2} = \frac{2BΓ}{2} = BΓ = EB\).
• \(\hat{B}_2 = 60^{\circ} = \hat{B}_1\)

Άρα τα τρίγωνα \(Δ MB\) και \(Δ EB\) είναι ίσα γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες.

γ) Το τμήμα \(Δ M\) είναι διάμεσος στην πλευρά \(AB\) του τριγώνου \(ABΔ\), αφού \(M\) μέσο από τα δεδομένα, άρα θα είναι και ύψος του τριγώνου, οπότε \(\widehat{Δ MB} = 90^{\circ}\). Επειδή τα τρίγωνα \(Δ MB\) και \(Δ EB\) είναι ίσα, θα είναι και \(\widehat{Δ EB} = \widehat{Δ MB} = 90^{\circ}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από την κοινή τους πλευρά \(Δ B\). Οπότε \(\widehat{Δ EB} + \widehat{Δ MB} = 180^{\circ}\).