ΛΥΣΗ

Από δεδομένα έχουμε ότι το τρίγωνο \(ABΓ\) είναι ισοσκελές με \(AB = AΓ\) και το \(AΔ\) ύψος στη βάση του \(BΓ\), άρα το \(AΔ\) είναι διάμεσος στη βάση \(BΔ\), δηλαδή \(Δ\) το μέσο της \(BΓ\), και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής \(A\), οπότε θα ισχύει \(\hat{A}_1 = \dfrac{\hat{A}}{2}\) \((1)\).

α) Από δεδομένα έχουμε ότι το \(BE\) είναι ύψος στην πλευρά \(AΓ\), οπότε το τρίγωνο \(BEΓ\) είναι ορθογώνιο με \(\widehat{BEΓ} = 90^{\circ}\) \((2)\) και η \(EΔ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(BΓ\), οπότε \(EΔ = \dfrac{BΓ}{2}\) ή \(BΓ = 2EΔ\).

β) Έχουμε ότι \(Δ\) μέσο της \(BΓ\) και ότι \(EΔ = \dfrac{BΓ}{2}\), άρα \(EΔ = ΔΓ = Δ B\), οπότε τα τρίγωνα \(EΔΓ\) και \(EΔ B\) είναι ισοσκελή και θα ισχύουν \(\hat{E}_2 = \hat{Γ}\) \((3)\) και \(\hat{E}_1 = \hat{B}_1\) \((4)\), ως γωνίες προσκείμενες στις βάσεις \(ΔΓ\) και \(BE\) των τριγώνων αντίστοιχα.

Από δεδομένα έχουμε ότι το \(AΔ\) είναι ύψος στην πλευρά \(BΓ\), οπότε το τρίγωνο \(AΔΓ\) είναι ορθογώνιο με \(\widehat{AΔΓ} = 90^{\circ}\) και για τις οξείες γωνίες του θα ισχύει ότι:

\(\hat{A}_1 + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\hat{A}_1 = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) \((5)\)

Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο \(BEΓ\) για τις οξείες γωνίες του θα ισχύει ότι:

\(\hat{B}_1 + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) ή \(\hat{B}_1 = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) και λόγω της σχέσης \((4)\) έχουμε ότι \(\hat{E}_1 = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) \((6)\)

Από τις σχέσεις \((5)\), \((6)\) και \((1)\) προκύπτει ότι: \(\hat{E}_1 = \dfrac{\hat{A}}{2}\).

γ) Είναι \(\hat{B}_2 = \hat{B} - \hat{B}_1 = \hat{Γ} - \hat{E}_1 = \hat{Γ} - (90^{\circ} - \hat{Γ}) = 2\hat{Γ} - 90^{\circ}\) \((7)\), επειδή είναι \(\hat{B} = \hat{Γ}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση \(BΓ\) του ισοσκελούς \(ABΓ\) και \(\hat{B}_1 = \hat{E}_1 = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) από σχέσεις \((4)\) και \((6)\).

Ισχύει ότι \(\hat{Δ}_2 = 90^{\circ} - \hat{Δ}_1 = 90^{\circ} - 2\hat{E}_1 = 90^{\circ} - 2(90^{\circ} - \hat{Γ}) = 2\hat{Γ} - 90^{\circ}\) \((8)\), επειδή το τρίγωνο \(AΔΓ\) είναι ορθογώνιο με \(\widehat{AΔΓ} = 90^{\circ}\), \(\hat{Δ}_1 = 2\hat{E}_1\) ως εξωτερική γωνία του ισοσκελούς τριγώνου \(EBΔ\) και \(\hat{E}_1 = 90^{\circ} - \hat{Γ}\) από σχέση \((6)\).

Από σχέσεις \((7)\) και \((8)\) προκύπτει ότι \(\hat{B}_2 = \hat{Δ}_2\).