Θέμα: 34328

Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Πηγή: Ι.Ε.Π.	Αναγνώσθηκε: 5889 φορές Επικοινωνία
Μάθημα:	Γεωμετρία	Τάξη:	Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος:	34328	Θέμα:	4
Τελευταία Ενημέρωση:	13-Απρ-2024	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.4. Ρόμβος 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	34328
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου 5.4. Ρόμβος 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 13-Απρ-2024
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)

Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ αριθμός

Δίνεται τετράπλευρο με κορυφές σημεία $A$, $B$, $Γ$ και $Δ$ κύκλου $(O, \rho)$, διαγώνιες $AΓ$ και $BΔ$, με τη $BΔ$ να διέρχεται από το κέντρο $O$ του κύκλου, και με ίσες πλευρές τις $AB$ και $BΓ$. Έστω ότι η κάθετη στη $BΔ$ στο σημείο $O$ τέμνει τις πλευρές $AΔ$ και $ΓΔ$ του τετράπλευρου $ABΓΔ$ στα σημεία $E$ και $Z$ αντίστοιχα, οι γωνίες του $\hat{A}$ και $\hat{Γ}$ είναι ορθές και η γωνία του $\hat{B}$ είναι διπλάσια της γωνίας του $\hat{Δ}$.

α) Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{Δ}$ του $ABΓΔ$.

(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι:

i. η διαγώνιος $BΔ$ διχοτομεί τη γωνία $\hat{Δ}$ του $ABΓΔ$,

(Μονάδες 7)

ii. το τετράπλευρο $ABΓO$ είναι ρόμβος,

(Μονάδες 6)

iii. το τετράπλευρο $AΓZE$ είναι τραπέζιο.

(Μονάδες 6)

Εμφάνιση Απάντησης

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

α) Από τα δεδομένα έχουμε ότι οι γωνίες $\hat{A}$ και $\hat{Γ}$ του $ABΓΔ$ είναι ορθές και η γωνία του $\hat{B}$ είναι διπλάσια της γωνίας του $\hat{Δ}$, δηλαδή $\hat{A} = \hat{Γ} = 90^{\circ}$ και $\hat{B} = 2\hat{Δ}$.

Για τις γωνίες του τετραπλεύρου $ABΓΔ$ ισχύει ότι:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} + \hat{Δ} = 360^{\circ} \text{ ή } 90^{\circ} + 90^{\circ} + 2\hat{Δ} + \hat{Δ} = 360^{\circ} \text{ ή } 3\hat{Δ} = 180^{\circ} \text{ ή } \hat{Δ} = 60^{\circ},$$

οπότε $\hat{B} = 120^{\circ}$.

β)

i. Τα τρίγωνα $ABΔ$ και $ΓBΔ$ έχουν $\hat{A} = \hat{Γ} = 90^{\circ}$, την πλευρά $BΔ$ κοινή και τις πλευρές $AB$ και $BΓ$ ίσες. Συνεπώς είναι ίσα, ως ορθογώνια που έχουν δυο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία, συνεπώς $\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_2$ $(1)$ ως απέναντι γωνίες των ίσων πλευρών $AB$ και $BΓ$. Άρα η διαγώνιος $BΔ$ διχοτομεί τη γωνία $\hat{Δ}$ του $ABΓΔ$.

ii. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABΔ$ είναι $\hat{Δ}_1 = \dfrac{\hat{Δ}}{2} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$, οπότε η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή $AB = \dfrac{ΔB}{2} = \dfrac{2\rho}{2} = \rho$ $(2)$, αφού η $ΔB$ είναι διάμετρος του κύκλου $(O, \rho)$, γιατί από τα δεδομένα έχουμε ότι διέρχεται από το κέντρο $O$ του κύκλου.

Όμοια, στο ορθογώνιο τρίγωνο $ΓBΔ$ είναι $\hat{Δ}_2 = 30^{\circ}$, αφού $\hat{Δ}_1 = \hat{Δ}_2$ (σχέση $(1)$),

$$\text{οπότε } BΓ = \frac{ΔB}{2} = \frac{2\rho}{2} = \rho \text{ $(3)$. Επίσης } OA = OΓ = \rho \text{ $(4)$.}$$

Από τις σχέσεις $(2)$, $(3)$ και $(4)$ προκύπτει ότι το τετράπλευρο $ABΓO$ έχει όλες τις πλευρές του ίσες, άρα είναι ρόμβος.

iii. Στο τετράπλευρο $ABΓO$ οι διαγώνιοί του $AΓ$ και $BO$ τέμνονται κάθετα, δηλαδή $AΓ \perp BO$ $(5)$. Επίσης είναι $EZ \perp BO$ $(6)$ από τα δεδομένα. Οπότε είναι $AΓ \parallel EZ$ ως κάθετες στην ίδια ευθεία και επειδή οι φορείς των τμημάτων $AE$, $ΓZ$ τέμνονται στο σημείο $Δ$, το τετράπλευρο $AΓZE$ είναι τραπέζιο.

Τα τρίγωνα $AΔΓ$ και $EΔZ$ είναι ισοσκελή, γιατί η $ΔB$ είναι διχοτόμος της γωνίας τους $\hat{Δ}$ (ερώτημα βi) αλλά και ύψος στις πλευρές $AΓ$ και $EZ$ αντίστοιχα (σχέσεις $(5)$, $(6)$), οπότε $AΔ = ΓB$ και $EΔ = ZΔ$.

Είναι $AE = AΔ - EΔ = ΓΔ - ZΔ = ZΓ$, άρα το τραπέζιο $AΓZE$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.