Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Έναρξη Θερινών: 15 Ιουνίου
Έναρξη Θερινών: 15/6
Πληροφορίες
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Αφαίρεση από τις Εκτυπώσεις Αφαίρεση Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 8981 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34396 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34396
Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 2

Σε ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{Α}=90°\)), η διχοτόμος τη γωνίας \(\hat{Γ}\) τέμνει την πλευρά \(ΑΒ\) σε σημείο \(Δ\). Από το \(Δ\) φέρουμε προς την πλευρά \(ΒΓ\) μια κάθετη ευθεία, η οποία τέμνει την πλευρά \(ΒΓ\) σε σημείο \(Ε\).

Να αποδείξετε ότι:

α) \(ΑΔ=ΔΕ\), (Μονάδες 13)

β) \(ΑΔ<ΔΒ\). (Μονάδες 12)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{Α}\) ορθή, \(ΓΔ\) η διχοτόμος της \(\hat{Γ}\) και \(ΔΕ\) η κάθετη ευθεία από το σημείο \(Δ\) στη \(ΒΓ\).

α) Τα τρίγωνα \(ΑΔΓ\) και \(ΓΔΕ\) έχουν:

  • \(\hat{Α} = \hat{Ε} = 90°\) (Υπόθεση και η \(ΔΕ\) κάθετη στη \(ΒΓ\)))
  • \(ΓΔ\) κοινή πλευρά
  • \(\hat{Γ}_1 = \hat{Γ}_2\), αφού ΓΔ διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Γ}\).

Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία οξεία γωνία ίση. Οπότε οι πλευρές ΑΔ και ΔΕ είναι ίσες γιατί βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{Γ}_1\) και \(\hat{Γ}_2\) αντίστοιχα.

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΔΕΒ\) η \(ΔΒ\) είναι η υποτείνουσα, οπότε είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Άρα \(ΔΒ > ΔΕ\). Επειδή \(ΑΔ = ΔΕ\) από το α) ερώτημα, προκύπτει ότι \(ΑΔ < ΔΒ\).