Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Είστε Μαθηματικός;
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ελάτε στην ομάδα του ΜΕΘΟΔΙΚΟΥ
Ευκαιρίες Απασχόλησης
Επισήμανση θέματος Επισήμανση Αφαίρεση από τις Εκτυπώσεις Αφαίρεση Εκτύπωση Μεμονωμένου Θέματος
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 6580 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34397 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34397
Ύλη: 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Αρχείο Εκφώνησης (PDF) Αρχείο Εκφώνησης (DOC)

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(\hat{Α} = 90°\)). Η διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Β}\) τέμνει την πλευρά \(ΑΓ\) στο σημείο \(Δ\). Φέρουμε τμήμα \(ΔΕ\) κάθετο στην πλευρά \(ΒΓ\).

Να αποδείξετε ότι:

α) \(ΒΑ=ΒΕ\), (Μονάδες 12)

β) Αν επιπλέον \(\widehat{ΒΔΑ} = 55°\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΓΔΕ\). (Μονάδες 13)

Αρχείο Απάντησης (PDF) Αρχείο Απάντησης (DOC)

ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(\hat{Α}\) ορθή, \(ΒΔ\) η διχοτόμος της \(\hat{Β}\) και τμήμα \(ΔΕ\) κάθετο στη \(ΒΓ\).

α) Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΒΔΕ\) έχουν:

  • \(\hat{Α} = \hat{Ε} = 90°\) (Υπόθεση και \(ΔΕ \perp ΒΓ\))
  • \(ΒΔ\) κοινή πλευρά,
  • \(\hat{Β}_1 = \hat{Β}_2\), επειδή ΒΔ διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Β}\).

Τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα. Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα θα έχουν ίσες και τις άλλες οξείες γωνίες τους, δηλαδή \(\widehat{ΒΔΑ} = \widehat{ΒΔΕ}\). Οπότε και οι πλευρές \(ΒΑ\) και \(ΒΕ\) είναι ίσες γιατί βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\widehat{ΒΔΑ}\) και \(\widehat{ΒΔΕ}\) αντίστοιχα.

β) Έστω ότι είναι \(\widehat{ΒΔΑ} = 55°\).

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΔ\) ισχύει ότι \(55° + \hat{Β}_1 = 90°\).

Άρα \(\hat{Β}_1 = 35° = \hat{Β}_2\) αφού ΒΔ διχοτόμος της \(\hat{Β}\), οπότε \(\hat{Β} = 70°\).

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι \(\hat{Β} + \hat{Γ} = 90°\).

Άρα \(\hat{Γ} = 20°\).

Για τις οξείες γωνίες του ορθογωνίου τριγώνου \(ΓΔΕ\) (\(\hat{Ε} = 90°\)) ισχύει ότι

\(\widehat{ΓΔΕ} + \hat{Γ} = 90°\).

Άρα \(\widehat{ΓΔΕ} = 70°\).