Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 11096 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34425 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34425 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και η διάμεσός του \(ΑΜ\). Στην προέκταση της διαμέσου \(ΜΔ\) του τριγώνου \(ΑΜΓ\) (προς το \(Δ\)) θεωρούμε σημείο \(Ε\) ώστε \(ΜΔ=ΔΕ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδες 12)
β) η \(ΒΕ\) διέρχεται από το μέσο της διαμέσου \(ΑΜ\). (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\), \(ΑΜ\) διάμεσός του στην πλευρά του \(ΒΓ\), \(ΜΔ\) η διάμεσος στην πλευρά \(ΑΓ\) του τριγώνου \(ΑΜΓ\) και σημείο \(Ε\) στην προέκτασή της \(ΜΔ\) προς το \(Δ\) τέτοιο ώστε \(ΜΔ=ΔΕ\).
α) Στο τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) τα \(ΑΓ\), \(ΜΕ\) είναι διαγωνιοί του.
Επειδή είναι \(ΜΔ = ΔΕ\) (υπόθεση) και \(ΑΔ = ΔΓ\) αφού η \(ΜΔ\) είναι διάμεσος του τριγώνου \(ΑΜΓ\), έχουμε ότι στο τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) οι διαγωνιοί του \(ΜΕ\), \(ΑΓ\) διχοτομούνται στο \(Δ\). Άρα το τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο το \(Δ\).
β)
Επειδή το \(ΑΜΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι οι απέναντι πλευρές του θα είναι ίσες και παράλληλες, δηλαδή \(ΑΕ = ΜΓ\) και \(ΑΕ \parallel ΜΓ\).
Επειδή είναι \(ΑΕ \parallel ΜΓ\) και τα σημεία \(Β\), \(Μ\), \(Γ\) είναι συνευθειακά, τότε θα είναι \(ΑΕ \parallel ΒΜ\).
Επειδή είναι \(ΑΕ = ΜΓ\) και \(ΜΓ = ΜΒ\), αφού η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) (υπόθεση), τότε θα είναι \(ΑΕ = ΒΜ\).
Οπότε, το τετράπλευρο \(ΑΕΜΒ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο απέναντι πλευρές του, τις \(ΑΕ\) και \(ΒΜ\), παράλληλες και ίσες.
Άρα, οι διαγωνιοί του \(ΑΜ\) και \(ΒΕ\) θα διχοτομούνται και έστω \(Ζ\) το κέντρο του. Επομένως, η \(ΒΕ\) διέρχεται από το μέσο \(Ζ\) της \(ΑΜ\).