Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 9203 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34426 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34426 | ||
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) και η διάμεσός του \(ΑΜ\). Στο τρίγωνο \(ΑΜΓ\) θεωρούμε τη διάμεσο \(ΜΔ\) την οποία προεκτείνουμε προς το \(Δ\) κατά τμήμα \(ΔΕ=ΔΜ\). Φέρουμε από το σημείο \(Δ\) τμήμα \(ΔΖ\) κάθετο στην \(ΑΜ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) είναι ορθογώνιο, (Μονάδες 12)
β) \(ΔΖ = \dfrac{ΒΓ}{4}\). (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Στο τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) τα τμήματα \(ΜΕ\) και \(ΑΓ\) είναι διαγωνιοί του.
Επειδή είναι \(ΜΔ = ΔΕ\) (υπόθεση) και \(ΑΔ = ΔΓ\), αφού ΜΔ είναι διάμεσος του τριγώνου \(ΑΜΓ\), έχουμε ότι οι διαγωνιοί \(ΜΕ\) και \(ΑΓ\) του τετραπλεύρου \(ΑΜΓΕ\) διχοτομούνται στο \(Δ\). Οπότε το τετράπλευρο \(ΑΜΓΕ\) είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο το \(Δ\).
Επειδή \(ΑΜ\) είναι διάμεσος στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\), θα είναι και ύψος του τριγώνου οπότε το \(ΑΜ\) είναι κάθετο στη \(ΒΓ\) \((1)\), οπότε \(Α\hat{Μ}Γ = 90°\).
Οπότε το παραλληλόγραμμο \(ΑΜΓΕ\) έχει μια γωνία του ορθή, άρα είναι ορθογώνιο.
β) Αφού είναι \(ΔΖ\) κάθετο στην \(ΑΜ\) και από \((1)\) είναι \(ΒΓ\) κάθετο στην \(ΑΜ\), οπότε και \(ΜΓ\) είναι κάθετο στην ΑΜ, άρα \(ΔΖ \parallel ΜΓ\) ως κάθετες στην ίδια ευθεία \(ΑΜ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΜΓ\) το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΑΓ\) και \(ΔΖ \parallel ΓΜ\), άρα το \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΑΜ\). Οπότε το τμήμα \(ΔΖ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΜ\) και \(ΑΓ\) του τριγώνου \(ΑΜΓ\) άρα θα είναι ίσο με το μισό της πλευράς του \(ΜΓ\), δηλαδή \(ΔΖ = \dfrac{ΓΜ}{2}\).
Επειδή \(ΓΜ = \dfrac{ΒΓ}{2}\), αφού \(Μ\) μέσο \(ΒΓ\), τότε θα είναι \(ΔΖ = \dfrac{\frac{ΒΓ}{2}}{2}\), οπότε \(ΔΖ = \dfrac{ΒΓ}{4}\).
