Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7045 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34494 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34494 | ||
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και τα μέσα \(Δ\), \(Ε\) και \(Ζ\) των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΒΓ\) και \(ΓΑ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \(ΔΒΕΖ\) είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδες 13)
β) η ευθεία \(ΔΖ\) διχοτομεί το τμήμα \(ΑΕ\). (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και \(Δ\), \(Ε\) και \(Ζ\) τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΒΓ\) και \(ΓΑ\) αντίστοιχα.
α)
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το τμήμα \(ΔΖ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\), οπότε το \(ΔΖ\) θα είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά \(ΒΓ\) και ίσο με το μισό της, δηλαδή \(ΔΖ \parallel ΒΓ\) και \(ΔΖ = \frac{ΒΓ}{2} = ΒΕ\) \((1)\), αφού \(Ε\) είναι το μέσο του \(ΒΓ\).
Αφού είναι \(ΔΖ \parallel ΒΓ\) τότε και \(ΔΖ \parallel ΒΕ\) \((2)\).
Από \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΔΒΕΖ\) έχει τις δύο απέναντι πλευρές του \(ΔΖ\) και \(ΒΕ\) ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο.
β) Φέρνουμε τα τμήματα \(ΑΕ\) και \(ΔΕ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το τμήμα \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\).
Οπότε το \(ΔΕ\) θα είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά \(ΑΓ\) και ίσο με το μισό της, δηλαδή \(ΔΕ \parallel ΑΓ\), οπότε και \(ΔΕ \parallel ΑΖ\) \((3)\) και επίσης \(ΔΕ = \frac{ΑΓ}{2} = ΑΖ\) \((4)\), αφού \(Ζ\) είναι το μέσο του \(ΑΓ\).
Από \((3)\) και \((4)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΑΔΕΖ\) έχει τις απέναντι πλευρές του \(ΔΕ\) και \(ΑΖ\) ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο.
Οι \(ΑΕ\) και \(ΔΖ\) είναι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου \(ΑΔΕΖ\) οπότε διχοτομούνται στο σημείο \(Κ\) (κέντρο του παραλληλογράμμου). Άρα η ευθεία \(ΔΖ\) διχοτομεί το τμήμα \(ΑΕ\).