Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 7041 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34496 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2024 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34496 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2024 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και τα ύψη του \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) που αντιστοιχούν στις πλευρές του \(ΑΓ\) και \(ΑΒ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Αν το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΒ=ΑΓ\), τότε τα ύψη \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) είναι ίσα. (Μονάδες 12)
β) Αν τα ύψη \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) είναι ίσα, τότε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΓ=ΑΒ\). (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(ΒΔ\), \(ΓΕ\) τα ύψη του στις πλευρές \(ΑΓ\), \(ΑΒ\) αντίστοιχα.
Τα τρίγωνα \(ΑΔΒ\) και \(ΑΕΓ\) έχουν:
- \(Α\widehat{Δ}Β= Α\widehat{Ε}Γ=90^{\circ}\), γιατί \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\) ύψη του τριγώνου \(ΑΒΓ\) από υπόθεση.
- \(ΑΒ=ΑΓ\), ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\).
- \(\widehat{Α}\) κοινή γωνία
Άρα τα τρίγωνα \(ΒΔΑ\) και \(ΓΕΑ\) είναι ίσα ως ορθογώνια που έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Οπότε θα έχουν και τις πλευρές \(ΒΔ\) και \(ΕΓ\) ίσες, ως πλευρές που βρίσκονται απέναντι από την κοινή τους γωνία \(\widehat{Α}\).
β) Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) και \(ΒΔ\), \(ΓΕ\) ύψη του στις πλευρές \(ΑΓ\), \(ΑΒ\) αντίστοιχα τα οποία είναι ίσα.
Τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΒΔΓ\) έχουν:
- \(Β\widehat{Ε}Γ = Β\widehat{Δ}Γ=90^{\circ}\), γιατί \(ΓΕ\) και \(ΒΔ\) ύψη του τριγώνου \(ΑΒΓ\) από υπόθεση.
- \(ΒΓ\) κοινή πλευρά
- \(ΒΔ = ΓΕ\) ως δεδομένο
Άρα τα τρίγωνα \(ΒΕΓ\) και \(ΒΔΓ\) είναι ίσα, ως ορθογώνια που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Οπότε, έχουν και \(\widehat{Γ} = \widehat{Β}\) \((1)\) ως απέναντι γωνίες των ίσων πλευρών \(ΒΔ\) και \(ΓΕ\), αντίστοιχα. Οπότε, το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) έχει δύο γωνίες του ίσες, τις \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Γ}\), άρα είναι ισοσκελές με \(ΑΒ = ΑΓ\).