Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Πηγή: Ι.Ε.Π. | Αναγνώσθηκε: 4814 φορές Επικοινωνία | |
|---|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Τάξη: | Α' Λυκείου | |
| Κωδικός Θέματος: | 34515 | Θέμα: | 2 | |
| Τελευταία Ενημέρωση: | 11-Μαΐ-2026 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | |
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | ||||
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | ||
|---|---|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου | ||
| Μάθημα: | Γεωμετρία | ||
| Θέμα: | 2 | ||
| Κωδικός Θέματος: | 34515 | ||
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου | ||
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |||
| Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida) | |||
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται γωνία \(x\widehat{Ο}y\) και σημείο \(Α\) στο εσωτερικό της. Από το \(Α\) φέρνουμε τις κάθετες \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) προς τις πλευρές \(Οx\), \(Οy\) της γωνίας αντίστοιχα, και ονομάζουμε \(Μ\) το μέσο του \(ΟΑ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(ΒΜΑ\) είναι ισοσκελές, (Μονάδες 8)
β) το τρίγωνο \(ΒΜΓ\) είναι ισοσκελές, (Μονάδες 8)
γ) \(\widehat{ΒΜΑ} = 2 \cdot x\widehat{Ο}Α\). (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Αφού η \(ΑΒ\) είναι κάθετη στην \(Οx\), η γωνία \(\widehat{ΟΒΑ}\) είναι ορθή, οπότε το τρίγωνο \(ΟΒΑ\) είναι ορθογώνιο, στο οποίο η \(ΒΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε ισχύει ότι \(ΒΜ = \dfrac{ΟΑ}{2} = ΜΑ\) \((1)\). Άρα το τρίγωνο \(ΒΜΑ\) είναι ισοσκελές.
β) Αφού η \(ΑΓ\) είναι κάθετη στην \(Οy\), η γωνία \(\widehat{ΟΓΑ}\) είναι ορθή, οπότε το τρίγωνο \(ΟΓΑ\) είναι ορθογώνιο, στο οποίο η \(ΓΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα
$$ΓΜ = \frac{ΟΑ}{2} \quad \ \ (2)$$
Από τις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(ΒΜ = ΓΜ\), άρα το τρίγωνο \(ΒΓΜ\) είναι ισοσκελές.
γ) Από την \((1)\) ισχύει ότι: \(ΒΜ = \dfrac{ΟΑ}{2} = ΟΜ\), αφού \(Μ\) μέσο του \(ΟΑ\).
Άρα το τρίγωνο \(ΟΒΜ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΟΒ\) και ισχύει ότι \(\widehat{ΜΟΒ} = \widehat{ΜΒΟ}\), ως γωνίες προκείμενες στη βάση.
Η γωνία \(\widehat{ΒΜΑ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(\widehat{ΒΜΟ}\), οπότε θα είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, δηλαδή:
$$\widehat{ΒΜΑ} = \widehat{ΜΟΒ} + \widehat{ΜΒΟ} = 2\widehat{ΜΟΒ}, \text{ δηλαδή } \widehat{ΒΜΑ} = 2 \cdot \widehat{xΟΑ}$$
