Για να εκτυπώσετε το Θέμα πατήστε "Εκτύπωση"!

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Πηγή: Ι.Ε.Π. Αναγνώσθηκε: 4487 φορές Επικοινωνία
Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη: Α' Λυκείου
Κωδικός Θέματος: 34774 Θέμα: 2
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Νοε-2023 Ύλη: 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Γεωμετρία
Θέμα: 2
Κωδικός Θέματος: 34774
Ύλη: 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Νοε-2023
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida)
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) και η διάμεσος του \(ΑΜ\). Στην προέκταση της πλευράς \(ΒΓ\) και προς τα δυο της άκρα, θεωρούμε σημεία \(Δ\) και \(Ε\) αντίστοιχα έτσι ώστε \(ΒΔ= ΓΕ\).
Να αποδείξετε ότι:

α) \(\hat{ΑΒΔ}\) = \(\hat{ΑΓΕ}\)
(Μονάδες 6)

β) τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα.
(Μονάδες 12)

γ) η \(ΑΜ\) είναι και διάμεσος του τριγώνου \(ΑΔΕ\).
(Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Είναι \(\hat{Β}\) = \(\hat{Γ}\) επειδή \(ΑΒΓ\) ισοσκελές τρίγωνο με βάση \(ΒΓ\), τότε:

$$\hat{ΑΒΔ} = 180^0 – \hat{Β} = 180^0 – \hat{Γ} = \hat{ΑΓΕ}$$

β) Τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) έχουν:

  • \(ΑΒ = ΑΓ\), από την υπόθεση
  • \(ΒΔ = ΓΕ\), από την υπόθεση
  • \(\hat{ΑΒΔ} = \hat{ΑΓΕ}\), από το α) ερώτημα

Οπότε τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (\(ΠΓΠ\)).

γ) Αφού από την υπόθεση έχουμε ότι η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος του τριγώνου \(ΑΒΓ\), τότε το \(Μ\) είναι μέσο της \(ΒΓ\) και θα ισχύει \(ΒΜ = ΜΓ\ \ (1)\). Επίσης είναι \(ΒΔ = ΓΕ\ \ (2)\) από την υπόθεση.

Οπότε προσθέτοντας τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) κατά μέλη θα έχουμε:

$$ΒΜ + ΒΔ = ΜΓ + ΓΕ$$ $$\Rightarrow ΔΜ = ΜΕ$$

Επομένως το \(Μ\) είναι μέσο του \(ΔΕ\), δηλαδή η \(ΑΜ\) είναι διάμεσος του \(ΑΔΕ\).